Nerovnosti mezi průměry

Nerovnosti mezi průměry v matematice vyjadřují nejčastěji vztah mezi kvadratickým, aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem nějaké skupiny čísel.

Existují nekonečně mnoho průměrů ze známějších např. zobecněný mocninný (např. odmocninový, kubický), Heronův, aritmeticko-geometrický, logaritmický, harmonicko-kvadratický, kontraharmonický – které lze do nerovností zapsat. Jejich běžné užití je však (kromě Heronova průměru) spíše sporadické.

Vzorec

Označíme-li kvadratický průměr daných kladných čísel jako $K$ , aritmetický průměr $A$ , geometrický průměr $G$ a harmonický průměr $H$ , pak platí:

$K\geq A\geq G\geq H$

Rovnost navíc nastává právě tehdy, když jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Například pro čísla 1 a 9 je

$K={\sqrt {\frac {1^{2}+9^{2}}{2}}}{\dot {=}}6,4\geq A=5\geq G={\sqrt {9}}=3\geq H={\frac {1}{\frac {1+1/9}{2}}}=1,8$

Nejdůležitější z těchto nerovností je nerovnost aritmetického a geometrického průměru, nazývaná též AG nerovnost.

Související články

Externí odkazy

Nerovnosti na stránkách matematického korespondenčního semináře MFF UK

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.