Mocné číslo

Jestliže m = a²b³ a jakékoliv prvočíslo v prvočíselném rozkladu čísla a se nachází též v prvočíselném rozkladu čísla m s exponentem větším než dva a jakékoliv prvočíslo z prvočíselného rozkladu čísla b se též nachází v prvočíselném rozkladu čísla m s exponentem větším než tři pak m je mocné.

V opačném směru lze předpokládat že m je mocné, pokud je rozklad lze rozepsat následujícím způsobem:

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},}$

kde α_i ≥ 2. Definujme si číslo γ_i, které bude tři pokud je α_i liché, nebo nula pokud sudé, dále definujme β_i = α_i - γ_i. Pokud jsou všechny hodnoty β_i jsou nezáporná lichá čísla a všechny hodnoty γ_i jsou buď nulové nebo tři, pak:

${\displaystyle m=(\prod p_{i}^{\beta _{i}})(\prod p_{i}^{\gamma _{i}})=(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}}$

platí že m lze zapsat jakou součin m = a²b³.

Neformálně s ohledem na prvočíselný rozklad m, kde b je součin prvočísel z prvočíselného rozkladu m a má lichý exponent, protože m je mocné, pak každé prvočíslo s lichým exponentem má exponent minimálně tři, takže m/b³ je celé číslo. Jelikož m/b³ má sudý exponent, pak m/b³ je čtverec, tedy číslo a², kde m = a²b³. Příklad:

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,}$

${\displaystyle b=2\times 3=6\,,}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,}$

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.}$

Reprezentace čísla m podávaná tímto způsobem má tu vlastnost, že b je bezčtvercové celé číslo.

Součet převrácených hodnot mocných čísel konverguje:

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3),}$

kde p "běží" přes všechna prvočísla, ζ(s) označuje Riemannovu funkci zeta a ζ(3) je Apéryho konstanta (Golomb, 1970).

Nechť k(x) značí počet mocných čísel na intervalu [1,x], pak k(x) je úměrný druhé mocnině x. Přesněji:

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\cdots }$

(Golomb, 1970).

Posloupnost po sobě jdoucích dvojic mocných čísel je dána [2]. Dvě nejmenší po sobě jdoucí mocná čísla jsou 8 a 9, proto Pellova rovnice x² − 8y² = 1 má nekonečně mnoho integrálních řešení, tam kde je nekonečně mnoho dvojic po sobě jdoucích mocných čísel (Golomb, 1970). Obecně je možné najít dvojice po sobě jdoucích mocných čísel řešících Pellovu rovnici: x² − ny² = ±1 pro každou druhou mocninu n. Platí ovšem, že v takto vzniklém páru musí být jedno ze dvou mocných čísel čtverec. Erdős jednou položil otázku: zda existuje nekonečně mnoho dvojic mocných čísel jako jsou (23³, 2³3²13²) přičemž ani jedno číslo v páru není čtverec. Jaroslaw Wroblewski prokázal, že skutečně existuje nekonečně mnoho takových párů, protože: 3³c²+1=7³d² má nekonečně mnoho řešení. Na závěr věta: Neexistují žádná tři po sobě jdoucí mocná čísla.

Jakékoliv liché číslo je rozdílem dvou po sobě následujících čtverců: (k + 1)² = k² + 2k +1², takže (k + 1)² - k² = 2k + 1. Nicméně sudé číslo, které je dělitelné dvěma, ale ne čtyřmi, nelze též pomocí rozdílu čtverců vyjádřit. Takže pokud si položíme otázku: Lze najít sudá čísla, která lze zapsat jako rozdíl mocných čísel? Golomb sestavil některé reprezentace tohoto typu:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3²(3³ − 5²).

Takto vzniká domněnka, že číslo 6 nelze takto reprezentovat, stejně jako se Golomb se domníval, že existuje nekonečně mnoho celých čísel, které nelze zapsat jako rozdíl dvou po sobě jdoucích mocných čísel. Následně Narkiewicz ukázal, že číslo 6 lze vyjádřit nekonečně mnoha obdobnými způsoby:

6 = 5⁴7³ − 463²,

následně McDaniel ukázal, že každé celé číslo má nekonečně mnoho takových reprezentací (McDaniel, 1982).

Paul Erdős se domníval, že každé větší číslo je součtem nejvýše tří mocných čísel, což prokázal Roger Heath-Brown (1987).

Pokud uvažujeme celá čísla a všechny jejich prvočíselné rozklady s exponentem alespoň k. Pak takové číslo nazývám k-mocné číslo:

(2^k+1 − 1)^k,  2^k(2^k+1 − 1)^k,   (2^k+1 − 1)^k+1

jsou k-mocná čísla v aritmetické posloupnosti. Kromě toho, jestliže a₁, a₂, ..., a_s jsou k-mocná čísla v aritmetické posloupnosti s diferencí d, pak

a₁(a_s + d)^k,  

a₂(a_s + d)^k, ..., a_s(a_s + d)^k, (a_s + d)^k+1

jsou s + 1 k-mocná čísla v aritmetické posloupnosti.

Máme zde tedy identitu zahrnující k-mocná čísla:

a^k(a^l + ... + 1)^k + a^{k + 1}(a^l + ... + 1)^k + ... + a^{k + l}(a^l + ... + 1)^k = a^k(a^l + ... +1)^k+1.

To dává nekonečně mnoho l+1-tic k-mocných čísel jejichž součet je také k-mocný. Nitaj ukázal, že existuje nekonečně mnoho řešení rovnice x+y=z. Například:

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

je řešení rovnice 32X³ + 49Y³ = 81Z³. My můžeme dosáhnout mnoha řešení pomocí konstrukce: X′ = X(49Y³ + 81Z³), Y′ = −Y(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ − 49Y³) a vynecháním společného dělitele.

• Achillovo číslo

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Powerful number na anglické Wikipedii.

• Cohn, J. H. E. A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers. Math. Comp.. 1998, roč. 67, s. 439–440. Dostupné online. DOI 10.1090/S0025-5718-98-00881-3.

• Erdős, Paul and Szekeres, George. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem. Acta Litt. Sci. Szeged. 1934, roč. 7, s. 95–102.
• Golomb, Solomon W.. Powerful numbers. American Mathematical Monthly. 1970, roč. 77, čís. 8, s. 848–852. Dostupné online. DOI 10.2307/2317020.
• Guy, Richard K.. Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. [s.l.]: Springer-Verlag, 2004. ISBN 0-387-20860-7. S. Section B16.
• Heath-Brown, Roger. "Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers". Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7.Je zde použita šablona {{Cite conference}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• Heath-Brown, Roger. "Sums of three square-full numbers". Number Theory, I (Budapest, 1987).Je zde použita šablona {{Cite conference}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• McDaniel, Wayne L. Representations of every integer as the difference of powerful numbers. Fibonacci Quarterly. 1982, roč. 20, s. 85–87. Dostupné online.

• Nitaj, Abderrahmane. On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers. Bull. London Math. Soc.. 1995, roč. 27, s. 317–318. DOI 10.1112/blms/27.4.317.

• The abc conjecture