Metoda sečen

Jak funguje metoda sečen

Na začátku je zapotřebí určit dvě počáteční hodnoty ${\displaystyle x_{0}}$ a ${\displaystyle x_{1}}$, které by měly být co nejblíže řešení rovnice ${\displaystyle f(x)=0}$. Tento kořen nemusí ležet mezi hodnotami ${\displaystyle x_{0}}$ a ${\displaystyle x_{1}}$. Pokud však je funkce ${\displaystyle f}$ spojitá a její funkční hodnoty v bodech ${\displaystyle x_{0}}$ a ${\displaystyle x_{1}}$ mají opačná znaménka, nachází se v intervalu ${\displaystyle (x_{0},x_{1})}$ alespoň jeden kořen. Sečna je v tomto případě lineární interpolací funkce ${\displaystyle f}$. Nejsou-li tyto podmínky splněny, výpočet metodou sečen může selhat (a funkce ani nemusí mít reálný kořen).

Pomocí bodů ${\displaystyle x_{0}}$ a ${\displaystyle x_{1}}$ je dána rovnice sečny ke grafu funkce ${\displaystyle f(x)=0}$ v bodech ${\displaystyle P_{0}=[x_{0},f(x_{0})]}$ a ${\displaystyle P_{1}=[x_{1},f(x_{1})]}$ ve tvaru:

${\displaystyle y=f(x_{1})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{1})}$.

V druhé iteraci musíme určit hodnotu ${\displaystyle x_{2}}$. Hodnota ${\displaystyle x_{2}}$ je průsečíkem sečny dané body ${\displaystyle x_{0}}$ a ${\displaystyle x_{1}}$ a osy x. Stačí do rovnice sečny dosadit ${\displaystyle y=0}$ a vyjádřit ${\displaystyle x}$. Dostaneme rovnici:

${\displaystyle x=x_{1}-{\frac {f(x_{1})(x_{1}-x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}}$,

jejímž řešením je hledaná hodnota ${\displaystyle x_{2}}$. Dále pokračujeme v algoritmu, kde pro ${\displaystyle n>0}$ se hodnota ${\displaystyle x_{n+1}}$ vypočítá z hodnot ${\displaystyle x_{n}}$ a ${\displaystyle x_{n-1}}$ pomocí vztahu:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})(x_{n}-x_{n-1})}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}}$.

V algoritmu se pokračuje, dokud není splněna jedna z ukončujících podmínek.

Mezi výhody této metody patří malý počet iterací pro nalezení kořene a snadné naprogramování algoritmu v programovacím jazyce. Naopak mezi nevýhody patří, že ne vždy dojde v této metodě ke konvergenci.