Metoda řetězových zlomků

Metoda řetězových zlomků je numerický algoritmus navržený k řešení integrálních rovnic teorie rozptylu jako jsou Lippmann-Schwingerova rovnice nebo Faddeevovy rovnice. Byla vyvinuta Jiřím Horáčkem a T. Sasakawou [1] na Tohoku University v Sendai v Japonsku v roce 1983. Metoda řeší integrální rovnici tvaru

|\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}V|\psi \rangle

pomocí iterací, přičemž konstruuje řetězový zlomek pro T-matici

T=\langle \phi |V|\psi \rangle .

Metoda existuje ve dvou variantách. V první z nich (označené zkratkou MCFV) konstruujeme aproximace operátoru potenciální energie $V$ ve formě separabilní funkce ranku 1, 2, 3 ... Ve druhé variantě (metoda MCFG[2]) konstruujeme separabilní aproximace Greenova operátoru. Aproximace jsou konstruovány pomocí vektorů z Krylovova prostoru $|\phi \rangle ,G_{0}V|\phi \rangle ,(G_{0}V)^{2}|\phi \rangle ,...$ . Tyto metody lze rovněž chápat jako resumaci (obecně divergentní) Bornovy řady pomocí Padého aproximantů. Metoda MCFV je rovněž úzce svázána se Schwingerovým variačním principem. Z numerického hlediska metoda vyžaduje stejnou výpočetní náročnost jako konstrukce členů Bornovy řady, ale mnohem rychleji konverguje.

Algoritmus MCFV

Prvním krokem odvození metody je zavedení separabilní aproximace potenciálu

V={\frac {V|\phi \rangle \langle \phi |V}{\langle \phi |V|\phi \rangle }}+V_{1}.

Integrální rovnice se separabilním potenciálem se dá snadno vyřešit. Řešení původního problému pak lze vyjádřit jako

|\psi \rangle =|\phi \rangle +T|\psi _{1}\rangle ,\qquad T={\frac {\langle \phi |V|\phi \rangle ^{2}}{\langle \phi |V|\phi \rangle -\langle \phi |V|\psi _{1}\rangle }},

pomocí funkce $|\psi _{1}\rangle$ , která řeší modifikovanou Lippmann-Schwingerovu rovnici

|\psi _{1}\rangle =|\phi _{1}\rangle +G_{0}V_{1}|\psi _{1}\rangle ,

kde $|\phi _{1}\rangle =G_{0}V|\phi \rangle .$ Zbytkový potenciál $V_{1}$ je průhledný pro přicházející vlny

V_{1}|\phi \rangle =\langle \phi |V_{1}=0,

tj. jde o slabší operátor, než původní potenciál. Nová rovnice pro $|\psi _{1}\rangle$ má stejný tvar jako původní rovnice a můžeme ji dále řešit stejnou úpravou. To vede na rekurentní relace

V_{i}=V_{i-1}-{\frac {V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle \langle \phi _{i-1}|V_{i-1}}{\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle }}

|\phi _{i}\rangle =G_{0}V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle .

Dá se ukázat, že T-matici pro původní problém můžeme vyjádřit ve formě řetězového zlomku

T={\cfrac {\beta _{0}^{2}}{\beta _{0}-\gamma _{1}-{\cfrac {\beta _{1}^{2}}{\beta _{1}-\gamma _{2}-{\cfrac {\beta _{2}^{2}}{\beta _{2}-\gamma _{3}-\ddots }}}}}},

kde jsme zavedli

\beta _{i}=\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle ,\qquad \gamma _{i}=\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i}\rangle .

Při praktických výpočtech nahradíme nekonečný řetězový zlomek konečným tak, že položíme

\beta _{N}=\beta _{N+1}=\dots =0,\qquad \gamma _{N}=\gamma _{N+1}=\dots =0.

To je ekvivalentní předpokladu, že zbytkové řešení

|\psi _{N}\rangle =|\phi _{N}\rangle +G_{0}V_{N}|\psi _{N}\rangle ,

je zanedbatelné. To je rozumný předpoklad, neboť zbytkový potenciál $V_{N}$ má všechny vektory $|\phi _{i}\rangle ,i=0,1,...,N-1$ ve svém nulovém prostoru. Dá se ukázat, že potenciál konverguje k nule a řetězový zlomek konverguje k přesné T-matici.

Algoritmus MCFG

Druhá varianta algoritmu[2] vychází z konstrukce aproximací Greenova operátoru

G_{i+1}=G_{i}-{\frac {|\phi _{i+1}\rangle \langle \phi _{i+1}|}{\langle \phi _{i}|V|\phi _{i+1}\rangle }},

tentokrát pomocí vektorů

|\phi _{i+1}\rangle =G_{i}V|\phi _{i}\rangle

.

Vyjádření T-matice řetězovým zlomkem zůstává v platnosti, ale s trochu modifikovanou definicí koeficientů $\beta _{i},\gamma _{i}$ [2].

Vlastnosti a vztah k jiným metodám

Ukazuje se, že výrazy pro T-matici, vycházející z obou metod dávají určitou třídu variačních principů, což zdůvodňuje rychlou konvergenci. Ve speciálním případě první iterace metodu MCFV dostaneme stejný výsledek jako ze Schwingerova variačního principu s použitím testovací funkce $|\psi \rangle =|\phi \rangle$ . V případě metody MCFV reprodukují vyšší iterace s N členy řetězového zlomku 2N členů Bornovy řady. Pro metodu MCFG je to dokonce 2N+1 členů. Dále se dá ukázat, že obě metody dají přesné řešení Lippmann-Schwingerovy rovnice pokud je potenciál operátor konečného ranku. Počet iterací je pak roven ranku potenciálu. Metoda řetězových zlomků byla úspěšně používána v jaderné[3] a molekulové fyzice[4].

Reference

Horáček J., Sasakawa T. “Method of continued factions with application to atomic physics”, Phys. Rev. A 28, 2151-2156 (1983).
Horáček J., Sasakawa T. “Method of continued factions with application to atomic physics. II”, Phys. Rev. A 30, 2274-2277 (1984).
Sasakawa T. "Models and methods in few body physics", editoři Ferreira, Fonseca, Sterit, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1987
Ribeiro E.M.S, Machado L.E., Lee M.-T., Brescansin L.M. "Application of the method of continued fractions to electron scattering by polyatomic molecules", Computer Physics Communications 136 (2001) 117-125.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[hs83-1] Horáček J., Sasakawa T. “Method of continued factions with application to atomic physics”, Phys. Rev. A 28, 2151-2156 (1983).

[hs84-2] Horáček J., Sasakawa T. “Method of continued factions with application to atomic physics. II”, Phys. Rev. A 30, 2274-2277 (1984).

[3] Sasakawa T. "Models and methods in few body physics", editoři Ferreira, Fonseca, Sterit, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1987

[4] Ribeiro E.M.S, Machado L.E., Lee M.-T., Brescansin L.M. "Application of the method of continued fractions to electron scattering by polyatomic molecules", Computer Physics Communications 136 (2001) 117-125.