Lippmannova–Schwingerova rovnice

Lippmannova-Schwingerova rovnice je kvantově mechanická rovnice hojně užívaná v teorii rozptylu. Jedná se o integrální rovnici, která je často řešena iterační metodou což vede na Bornovu řadu.

V případě jednokanálového rozptylu má nezávisle na reprezentaci Lippmann-Swingerova rovnice tvar

${\displaystyle |\psi _{\rm {p}}^{\pm }\rangle =|{\rm {{p}\rangle +{\hat {G}}_{0}^{\pm }(E){\hat {H}}_{I}|\psi _{\rm {p}}^{\pm }\rangle }}}$,

kde ${\displaystyle |\psi _{\rm {p}}^{\pm }\rangle }$ označuje retardované a advancované řešení rovnice, ${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$ interační hamiltonián a ${\displaystyle {\hat {G}}_{0}^{\pm }(E)}$ retardovaný, resp. avansovaný, Greenův operátor bezčasové Schrödingerovy rovnice pro volnou částici. Můžeme jej vyjádřit takto

${\displaystyle {\hat {G}}_{0}^{\pm }(E)={\frac {1}{E-{\hat {H}}_{0}\pm i\varepsilon }}}$.

Řešení Lippmann-Swingerovy rovnice vyhovují nečasové (stacionární) Schrödingerově rovnici, tedy platí:

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{\rm {p}}^{\pm }\rangle =E|\psi ^{\pm }\rangle }$

Platí dokonce normovací podmínka

${\displaystyle \langle \psi _{\rm {p}}^{\pm }|\psi _{\rm {p'}}^{\pm }\rangle =\delta ({\rm {{p}-{\rm {{p'})}}}}}$.

Přitom pro celkový hamiltonián ${\displaystyle H}$ platí

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{I}}$,

kde ${\displaystyle H_{0}}$ je hamiltonián volné částice, tedy nerelativisticky

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\frac {{\hat {\rm {p}}}^{2}}{2m}}}$.

Platí také ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$, protože se energie částice zachovává a dlouho před rozptylem odpovídá energii volné částice.

Poznamenejme, že retardované řešení popisuje rozptylující se částici, která na rozptylové centrum nalétává jako rovinná vlna ${\displaystyle |{\rm {{p}\rangle }}}$ a advancované naopak řešení s převráceným během času, jako rovinná vlna vylétá.

V třírozměrném prostoru je Greenův operátor ${\displaystyle {\hat {G}}_{0}^{\pm }(E)}$ v x-reprezentaci dán výrazem

${\displaystyle G_{0}^{\pm }(E)({\rm {{x},{\rm {{x'})=\langle {\rm {{x}|{\hat {G}}_{0}^{\pm }(E)|{\rm {{x'}\rangle =-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\exp(\pm ik|{\rm {{x}-{\rm {{x'}|)}}}}}{|{\rm {{x}-{\rm {{x'}|}}}}}}}}}}}}}}}$

Lippmann-Schwingerova rovnice má pak v x-reprezentaci tvar

${\displaystyle \psi _{\rm {p}}^{+}({\rm {{x})={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{\frac {3}{2}}}}e^{i{\rm {{p}\cdot {\rm {x}}}}}-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}\int d^{3}x'{\frac {\exp(ik|{\rm {{x}-{\rm {{x'}|)}}}}}{|{\rm {{x}-{\rm {{x'}|}}}}}}V({\rm {{x'})\psi _{\rm {p}}^{+}({\rm {{x'})}}}}}}}$,

kde

${\displaystyle \psi _{\rm {p}}^{+}({\rm {{x})=\langle {\rm {{x}|\psi _{\rm {p}}^{+}\rangle }}}}}$

a

${\displaystyle {\rm {{k}={\frac {1}{\hbar }}{\rm {p}}}}}$.

Z vyjádření v x-reprezentaci je zřejmé, že jde v tomto případě o integrální rovnici.