Legendreův symbol
Legendreův symbol je multiplikativní funkce zavedená v teorii čísel. Při pevně daném prvočísle p nabývá pro různá celá čísla a hodnot 0, 1 a -1 podle toho, zda je a soudělné s p a zda je a modulo p čtvercem.
Legendreův symbol zavedl Adrien-Marie Legendre v roce 1798 při dokazování zákona kvadratické reciprocity. Existují jeho zobecnění, například Jacobiho symbol. Jeho značení přejaly také jiné funkce algebraické teorie čísel, například Hilbertův symbol a Artinův symbol.
Definice
Nechť p je prvočíslo. Celé číslo a se označuje kvadratický zbytek, pokud je modulo kongruentní druhé mocnině nějakého celého čísla, v opačném případě se nazývá kvadratický nezbytek. Legendreův symbol je funkce dvou proměnných p a a definovaná takto:
Legendreova původní definice byla pomocí vzorců:
Že jsou tyto definice ekvivalentní plyne z Eulerova kritéria, které bylo známo ještě před zavedením Legendreova symbolu. Legendreův přínos zde tkví právě v zavedení nové notace (předtím například Gauss používal pro vyjádření téhož zápisy aRp, aNp).
Vlastnosti
- Legendreův symbol je ve své první proměnné periodický; platí-li a ≡ b (mod p), pak:
- Legendreův symbol je ve své první proměnné úplná multiplikativní funkce, tedy:
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Legendre symbol na anglické Wikipedii.
Literatura
- VINOGRADOV, Ivan Matvejevič. Základy theorie čísel. Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1953.