Larmorova rotace

Frekvence urychlujícího elektrického pole v cyklotronu odpovídá frekvenci oběhu částic

Na částici s nábojem ${\displaystyle q}$ a hmotností ${\displaystyle m}$, která se pohybuje rychlostí ${\displaystyle \mathbf {v} }$ magnetickým polem o indukci ${\displaystyle \mathbf {B} }$ (bez přítomnosti elektrického pole), působí Lorentzova (magnetická) síla

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {m} }=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,,}$

kde ${\displaystyle \times }$ značí vektorový součin. Vektor rychlosti je vhodné rozdělit na složku ${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }}$ rovnoběžnou s magnetickými silokřivkami a složku ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ kolmou na pole.

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }}$

Podle toho lze rozdělit i magnetickou sílu.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {m} }=q\mathbf {v} _{\parallel }\times \mathbf {B} +q\mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} }$

Vektorový součin rovnoběžných vektorů (první člen součtu) je nulový, takže ve směru pole na částici žádná síla nepůsobí a rychlost v tomto směru se nemění. Je-li tedy rychlost ${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }}$ nenulová, posunuje se částice rovnoměrně ve směru magnetické indukční čáry – stoupání šroubovice. Je-li ${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=0}$, stoupání nenastane a částice opisuje kružnici. Kruhový pohyb je způsoben druhým členem součtu: magnetická síla má velikost ${\displaystyle Bqv_{\perp }}$ a je kolmá na rychlost, takže působí jako dostředivá. Srovnáme-li výrazy pro velikost magnetické a dostředivé síly, můžeme najít cyklotronový poloměr.

${\displaystyle F_{\mathrm {m} }=F_{\mathrm {d} }}$

${\displaystyle Bqv_{\perp }={\frac {mv_{\perp }^{2}}{r}}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {c} }={\frac {mv_{\perp }}{qB}}={\frac {p_{\perp }}{qB}}}$

V čitateli posledního zlomku je velikost složky hybnosti částice ${\displaystyle p_{\perp }=mv_{\perp }}$ kolmé na směr pole. Tento výsledný vztah lze použít i v relativistickém případě, kdy se částice pohybují rychlostmi srovnatelnými s rychlostí světla. V tom případě se do vztahu dosazuje relativistická hybnost.

Za dobu jedné periody oběhne částice rychlostí ${\displaystyle v_{\perp }}$ obvod kružnice ${\displaystyle 2\pi r_{\mathrm {c} }}$.

${\displaystyle T_{\mathrm {c} }={\frac {2\pi r_{\mathrm {c} }}{v_{\perp }}}={\frac {2\pi m}{qB}}}$

Cyklotronová frekvence je převrácená hodnota periody.

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{T_{\mathrm {c} }}}={\frac {qB}{2\pi m}}}$

Úhlová cyklotronní frekvence je ${\displaystyle 2\pi }$–násobek frekvence.

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }=2\pi f_{\mathrm {c} }={\frac {qB}{m}}}$

V nerelativistickém případě tedy frekvence obíhání nezáleží na rychlosti částice, což umožňuje konstrukci nejjednoduššího kruhového urychlovače – cyklotronu. Tato frekvence je také charakteristická pro záření vydávané rotujícími částicemi, ať už mají jakoukoli rychlost. V relativistickém případě je třeba místo klasické hmotnosti používat relativistickou hmotnost, která se mění s rychlostí částice. Během urychlování je proto nutno měnit frekvenci urychlujícího pole tak, aby byla stále synchronizovaná s oběhem částic. Takový urychlovač se nazývá synchrotron. Druhou možností je konstrukce cyklotronu s nehomogenním magnetickým polem, které kompenzuje relativistickou změnu hmotnosti částic na drahách s různými poloměry.

Částice plazmatu rotují kolem magnetických indukčních čar nad povrchem Slunce a září v UV oboru

Je-li magnetické pole nehomogenní, magnetické indukční čáry nejsou rovné a pohyby částic mohou být výrazně složitější. Avšak v nejjednodušším přiblížení, když je velikost nehomogenity výrazně větší než ${\displaystyle r_{\mathrm {c} }}$, si můžeme pohyb představit jako Larmorovu rotaci kolem vybrané silokřivky. Částice tuto silokřivku obkružují, září a zároveň se posouvají podél ní. Například na záběrech slunečních erupcí můžeme díky tomuto jevu přímo vidět svítící siločáry magnetického pole. V magnetosféře Jupiteru vyzařují rotující elektrony typické rádiové vlny snadno zachytitelné přijímačem na Zemi. Kroužení částic kolem magnetických silokřivek je také základem magnetických zrcadel a všech typů magnetických nádob, které slouží například k udržení plazmatu v zařízeních typu tokamak.

Poloměr při daném vnějším poli závisí na rychlosti částice a poměru ${\displaystyle m/q}$, který je charakteristickou vlastností částice. Pro neznámou částici můžeme tento poměr určit tak, že jí udělíme dobře definovanou rychlost, poté sledujeme její pohyb v magnetickém poli a změříme Larmorův poloměr. Jde-li například o jednou ionizovaný atom s nábojem +e, můžeme takto stanovit hmotnost iontu. Touto metodou byly objeveny a popsány izotopy chemických prvků, které jsou chemickými postupy nerozlišitelné. Zařízení využívající tohoto jevu se nazývá hmotnostní spektrometr.

• Larmorova precese – využívá se při lékařském vyšetření NMR

• Jevy v plazmatu, Drifty – Aldebaran.cz
• Petr Kulhánek: TF4 Teorie plazmatu I+II (7 MB PDF), strany 9 až 11
• Astrofyzika pro fyziky, přednáška 7. Proč Slunce svítí? – Mgr. Miroslav Brož, Ph.D., MFF UK
• Nalaďte si Jupiter – Aldebaran Bulletin 10/2006, Ing. Martin Žáček, Ph.D.