Lambda kalkul

V lambda kalkulu každý výraz popisuje funkci jednoho argumentu, který je sám funkcí jednoho argumentu, a jejímž výsledkem je opět funkce jednoho argumentu. Funkce lze definovat bez pojmenování, uvedením lambda výrazu, který popisuje, jak se z hodnoty argumentu vypočte hodnota funkce. Příkladem může být funkce „přičti dvojku“, f(x) = x + 2. V lambda kalkulu se taková funkce zapíše jako λ x. x + 2 (nebo, beze změny významu λ y. y + 2, jméno argumentu není podstatné). Aplikace takové funkce na číslo 3 se zapíše jako (λ x. x + 2) 3. Aplikace je asociativní zleva: f x y = (f x) y.

Mějme dány nejvýše spočetné množiny C resp. V (konstant resp. proměnných). Množinou všech lambda výrazů rozumíme množinu Λ (velká lambda) řetězů obsahujících symboly z C ∪ V ∪ {(, ), λ} takových, že:

1. c ∈ C => c ∈ Λ
2. v ∈ V => v ∈ Λ
3. M,N ∈ Λ → (M N) ∈ Λ
4. x ∈ V, M ∈ Λ → (λ x . M) ∈ Λ

V dalším budeme označovat konstanty písmeny c, d, e, …, proměnné odzadu tj. z, y, x, … a obecné λ-výrazy velkými písmeny latinky. Budeme také vynechávat závorky, tj. místo (λ x.x) budeme psát λ x.x (nebo jen λ xx). Podobně výraz λx (x y z) budeme značit jako λx . x y z. (Tečka odděluje "argumenty" λ od těla λ-výrazu a umožňuje zkrácený zápis λ xy.y ve významu λ x (λ y (y)). Jinými slovy, tečka nahrazuje levou závorku, ke které je pravá závorka co nejvíce vpravo – tj. u další pravé závorky)

Faktu, že na pojmenování (označení) vázaných proměnných nezáleží, využijeme. Tomuto se formálně říká Alfa konverze.

Příklad: Výraz λx . xy je stejný jako λw . wy.

Nechť M je libovolný λ-výraz. Množinu všech volných proměnných M značíme FV(M) a definujeme ji následovně:

• FV(x) = {x}
• FV(NL) = FV(N) ∪ FV(L)
• FV(λx . N) = FV(N) - {x}

Lambda výraz M, pro který je množina FV prázdná, nazýváme uzavřeným λ-výrazem nebo také kombinátorem.

Příklad: y (λxy . λyz) obsahuje volné proměnné z, y a vázané x, y. Výraz λxy . λxy je kombinátorem.

Mnemotechnická pomůcka pro označení množin: C … constant, V … variable, FV … free variable.

Nechť M, N ∈ Λ. Výraz tvaru M=N, kde = je speciální symbol, nazýváme rovnost. Někdy se používá označení ==.

Lambda kalkul definujeme jako teorii rovností mezi λ-výrazy založenou na následujících axiomech:

1. (λx . M) N = M[x := N] (tzv. Beta konverze)
2. M = M
3. M = N → N = M (asociativita)
4. M = N ∧ N = L → M = L (tranzitivita)
5. M = M` → ZM = ZM`
6. M = M` → MZ = M`Z
7. M = M` → λx . M = λx . M`

V některých učebnicích se předpokládá, že M neobsahuje y. Axiom je tedy tvaru

• λx . M = λy . ( M[x := y] )

Pokud je v λ-kalkulu dokazatelná rovnost M=N, píšeme λ~M=N a říkáme, že λ-výrazy M, N jsou navzájem (Beta) konvertibilní. (Poznámka: použil jsem označení pomocí ~, ale v literatuře se častěji setkáte se znakem ⊥ otočeným o 90 stupňů vpravo. (${\displaystyle \lambda \vdash M=N}$))

Zápisem M≡N rozumíme tu skutečnost, že dva λ-výrazy jsou buď totožné, nebo je lze ztotožnit přejmenováním vázaných proměnných.

Příklad: λx . xy ≡ λx . xy, λz . xz ≡ λy . xy (alfa konverze), ale λx . xz ≠ λx . xy.

Mezi standardní kombinátory řadíme:

• I: λx . x (identita)
• K: λxy . x (ev. K*: λxy . y)
• S: λxyz . xz (yz)

Tyto kombinátory dávají základ SKI kalkulu. Je vhodné si ověřit, že:

• IM = M
• KMN = M
• SMNL = ML(NL)

Například druhý případ: KMN, což můžeme přepsat jako (λxy . x)MN = (λy. x[x := M])N, což je (λy . M)N = M[y := n] a to je M. Dokázali jsme, že KMN = M.

Pomocí lambda kalkulu lze dobře definovat vyčíslitelnost.

Libovolná funkce F: N → N je vyčíslitelná právě tehdy, když existuje lambda výraz f, u kterého pro libovolná přirozená čísla x a y platí F(x) = y právě tehdy, když f x == y, kde x a y jsou Churchova čísla odpovídající x a y. Tak vypadá jeden ze způsobů definice vyčíslitelnosti, který je základem Churchovy–Turingovy teze.

Problém určit, zda dva výrazy v lambda kalkulu jsou ekvivalentní, nemůže žádný univerzální algoritmus vyřešit a tento problém byl první, u kterého se nerozhodnutelnost podařilo dokázat. V důkazu tohoto faktu Alonzo Church nejprve problém zredukoval na určení, zda daný lambda výraz má nějakou normální formu, přičemž takovou formou se míní ekvivalentní výraz, který nelze dále zjednodušit. Poté v rámci důkazu sporem předpokládá, že takový predikát je vyčíslitelný a lze ho tedy vyjádřit pomocí lambda kalkulu. S využitím předchozích Kleeneho výsledků dokázal lambda výrazům přiřadit Gödelovo číslo a poté obdobnou technikou jako v důkazu první Gödelovy věty o neúplnosti vytvořil lambda výraz e. Konečně, pokud je e aplikováno samo na sebe (na své Gödelovo číslo), výsledkem je spor.

Pomocí něho lze také definovat operace v objektových databázích. Na principech lambda kalkulu je založená dotazovací část jazyka smalltalk. Tento jazyk používá například rozsáhlá objektová databáze GemStone.

• Funkcionální programování
• Kombinatorická logika
• Teorie typů

• Obrázky, zvuky či videa k tématu lambda kalkul na Wikimedia Commons