Laguerrovy polynomy

Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

${\displaystyle (p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)e^{-x}dx,}$

přičemž n-tý Laguerrův polynom ${\displaystyle L_{n}(x)}$ je polynom stupně n[1]

Obecnějším způsobem jako soustavu polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

${\displaystyle (p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)x^{a}e^{-x}dx}$

s ${\displaystyle a>-1}$ získáme zobecněné či přidružené Laguerrovy polynomy ${\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)}$.

Další vztahy pro Laguerrovy polynomy ${\displaystyle L_{n}(x)}$ a ${\displaystyle L_{n}^{(a)}}$, které se někdy uvádějí jako definice, jsou

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n}\mathrm {e} ^{-x}),}$

${\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)={\frac {x^{-a}\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n+a}\mathrm {e} ^{-x}).}$

Explicitně se dají definovat vztahy

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}$

${\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n+a \choose n-k}{\frac {x^{k}}{k!}}.}$

Někteří autoři[2] definují Laguerrovy polynomy zvětšené faktorem ${\displaystyle n!}$:

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{(-1)}^{k}{\frac {n^{2}{(n-1)}^{2}\cdots {(k+1)}^{2}}{(n-k)!}}x^{k}.}$

Laguerrovy polynomy ${\displaystyle L_{n}(x)}$ jsou kanonickými řešeními Laguerrovy diferenciální rovnice[2]

${\displaystyle xy^{\prime \prime }+(1-x)y^{\prime }+ny=0}$

Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.

Prvních šest Laguerrových polynomů

Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů:

n	${\displaystyle L_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle -x+1\,}$
2	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,}$
3	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}$
4	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}$
5	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}({\scriptstyle -x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)}\,}$
6	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}({\scriptstyle x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720})\,}$

• Ortogonální polynomy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Laguerrovy polynomy na Wikimedia Commons