Časoprostor

Prostoročas užívaný ve speciální teorii relativity je čtyřrozměrný, přičemž souřadnice x, y, z představují prostorové souřadnice a časová souřadnice je vyjadřována jako ct, kde c je rychlost světla. Čtveřice souřadnic tvoří čtyřvektor. Všechny souřadnice (prostorové i časová) mají tedy prostorový rozměr (jejich jednotkou jsou metry).

Takto vytvořený čtyřrozměrný prostor je použitelný pouze tehdy, pokud vzdálenost v tomto prostoru je invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci. To vyžaduje, aby vzdálenost mezi dvěma body tohoto prostoru byla definována jiným způsobem, než je obvyklé v euklidovském prostoru.

Doplní-li se časová souřadnice o imaginární jednotku, pak se časová souřadnice vyjádří jako ${\displaystyle \mathrm {i} ct}$, a vzdálenost lze vyjádřit vztahem

${\displaystyle \Delta s^{2}={(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}-c^{2}{(t_{2}-t_{1})}^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}$

Veličina ${\displaystyle \Delta s^{2}}$ bývá také označována jako „lineární element“.

Takto definovaný prostoročas má euklidovský charakter označovaný jako Minkowského prostor. Geometrie v Minkowského prostoročase však není euklidovská, ale pseudoeuklidovská.

Z hlediska přechodu od speciální teorie relativity k obecné teorii relativity je však vhodnější formulovat vzdálenost zavedením metrického tenzoru. Vzhledem k tomu, že Minkowského prostor není zakřivený, má metrický tenzor jednoduchý tvar

${\displaystyle \eta _{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}=\operatorname {diag} (-1,1,1,1)}$,

kde ${\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3}$, přičemž index 0 označuje časovou složku a indexy 1, 2 a 3 označují prostorové komponenty metrického tenzoru.

Místo uvedené metriky se často používá metrický tenzor s rozdílnou signaturou

${\displaystyle \eta _{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$

Skalární součin dvou vektorů ${\displaystyle A^{\iota }}$, ${\displaystyle B^{\iota }}$ pak lze vyjádřit jako ${\displaystyle \eta _{\iota \kappa }A^{\iota }B^{\kappa }}$, kde bylo užito Einsteinovo sumační pravidlo. Výraz pro skalární součin lze použít i pro vyjádření vzdálenosti, tedy

${\displaystyle \Delta s^{2}=\eta _{\iota \kappa }\Delta x^{\iota }\Delta x^{\kappa }}$,

kde ${\displaystyle x^{0}}$ označuje časovou souřadnici a ${\displaystyle x^{i}}$ pro ${\displaystyle i=1,2,3}$ označuje prostorové souřadnice.

Tento postup umožňuje využití prostředků Riemannovy geometrie. Vzhledem k tomu, že vzdálenost je indefinitní, označuje se tato geometrie jako pseudoriemannovská.

Každý bod Minkowského prostoročasu představuje prostoročasovou událost, čímž se vyjadřuje, že se nejedná pouze o prostorový bod, ale o bod prostoru vztahující se k danému časovému okamžiku. Vzdálenost mezi dvěma událostmi se označuje jako prostoročasový interval (vzdálenost).

V obecné teorii relativity se místo Minkowského prostoročasu používá Riemannův prostoročas, který může být obecně zakřivený a metrika je v něm charakterizována symetrickým metrickým tenzorem ${\displaystyle g_{\iota \kappa }}$, který obecně není diagonální. Vzdálenost je pak vyjádřena jako

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\iota \kappa }\mathrm {d} x^{\iota }\mathrm {d} x^{\kappa }}$

Přechod ke speciální teorii relativity lze zajistit položením

${\displaystyle g_{\iota \kappa }=\eta _{\iota \kappa }}$

Vzdálenost pak získá tvar

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\eta _{\iota \kappa }\mathrm {d} x^{\iota }\mathrm {d} x^{\kappa }}$

Prostoročasové vzdálenosti mezi dvěma událostmi lze rozdělit podle toho, zda je možné mezi oběma událostmi předat informaci prostřednictvím signálu šířícího se světelnou nebo podsvětelnou rychlostí.

• Časupodobný interval - též časový nebo časového charakteru. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi může být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou rychlostí, tedy rychlostí nižší než je rychlost světla. V takovémto uspořádání může být například vznik první události příčinou výskytu druhé události apod., takže mezi oběma událostmi existuje příčinná souvislost. Ve zvolené metrice platí ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}<0}$. V metrice s opačnou signaturou bude ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}>0}$.
• Světelný interval - též světelného charakteru nebo také izotropní či nulový. Jedná se o případ, kdy mohou být obě události spojeny pouze prostřednictvím světelného signálu, tzn. signálem šířícím se rychlostí světla ${\displaystyle c}$. Mezi oběma událostmi existuje příčinná souvislost. Bez ohledu na volbu metriky v tomto případě platí ${\displaystyle \Delta s^{2}=0}$.
• Prostorupodobný interval - též prostorového charakteru. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi nemůže být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou nebo světelnou rychlostí. Ve zvolené metrice platí ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}>0}$. V metrice s opačnou signaturou bude ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}<0}$.

Poznámka: To, zda je prostoročasový interval větší nebo menší než nula, je závislé na signatuře zvolené metriky.

Množina událostí, které mají od dané události A nulovou vzdálenost, se označuje světelný kužel. Ten rozděluje prostoročas na tři oblasti: absolutní minulost, absolutní budoucnost a relativní současnost. Absolutní minulostí se označují ty události B, které pro každého pozorovatele leží v minulosti události A, absolutní budoucnost jsou pak události B, které pro každého pozorovatele leží v budoucnosti události A. Relativní současnost je tvořena událostmi B, pro něž existují pozorovatelé, pro které jsou události A a B současné, pro některé jiné patří B do minulosti A, pro ostatní patří B do budoucnosti A.