Integrace použitím Eulerova vzorce

Eulerův vzorec pro komplexní čísla lze v integrálním počtu použít pro vyhodnocení integrálů, které obsahují goniometrické funkce. Použitím Eulerova vzorce můžeme zapsat libovolnou trigonometrickou funkci jako komplexní exponenciální funkci obsahující $e^{ix}$ a $e^{-ix}$ a tu pak integrovat. Tato technika je často jednodušší a rychlejší než použití trigonometrických identit nebo integrace per partes, a je dostatečně silná pro integraci libovolné racionální funkce obsahující trigonometrické funkce.

Eulerův vzorec

Eulerův vzorec:[1]

e^{ix}=\cos x+i\,\sin x.

Substitucí $-x$ za $x$ dostaneme rovnici

e^{-ix}=\cos x-i\,\sin x,

protože funkce kosinus je sudá funkce a sinus lichá. Z těchto dvou rovnic lze vyjádřit sinus a kosinus:

\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad {\text{a}}\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.

Příklady

První příklad

Uvažujme integrál

\int \cos ^{2}x\,dx.

Standardní postup řešení tohoto integrálu je použít vzorec pro poloviční úhel pro zjednodušení integrandu. Místo toho můžeme použít Eulerovu identitu:

{\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\,dx\,&=\,\int \left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}dx\\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx\end{aligned}}

Nyní je možné se vrátit zpět k reálným číslům použitím vzorce $e 2 ix + e -2 ix = 2 cos 2 x$ . Případně můžeme integrovat komplexní exponenciály a k trigonometrickým funkcím se již nevracet:

{\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx&={\frac {1}{4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}

Druhý příklad

Uvažujme integrál

\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.

Řešení tohoto integrálu použitím trigonometrických identit je poměrně komplikované, ale při použití Eulerovy identity je docela jednoduché:

{\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx&=\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\end{aligned}}

Nyní můžeme buď integrovat přímo nebo můžeme nejdřív provést substituci výrazu $2 cos 6 x - 4 cos 4 x + 2 cos 2 x$ . Obě metody dávají

\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.

Použití reálných částí

Kromě přímého využití Eulerovy identity lze často vhodně využít reálné části komplexních výrazů. Pokud máme například integrál

\int e^{x}\cos x\,dx.

Protože $cos x$ je reálná část $e ix$ , víme, že

\int e^{x}\cos x\,dx=\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.

Integrál na pravé straně lze snadno vypočítat:

\int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.

Odtud postupně dostaneme

{\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx&=\operatorname {Re} \left({\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}

Zlomky

Obecně lze tuto techniku použít pro vyhodnocení libovolného zlomku, který obsahuje trigonometrické funkce. Například při řešení integrálu

\int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\,dx

dostaneme použitím Eulerovy identity

{\frac {1}{2}}\int {\frac {12+e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{ix}+e^{-ix}+e^{3ix}+e^{-3ix}}}\,dx.

Pokud nyní provedeme substituci $u = e ix$ , výsledek je integrál racionální funkce:

-{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+12u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6}}}\,du,

který můžeme řešit pomocí rozkladu na parciální zlomky.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Integration using Euler's formula na anglické Wikipedii.

Weisstein, Eric W. (June 14 2017)

Související články

Trigonometrická substituce
Weierstrassova substituce
Eulerova substituce

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Weisstein, Eric W. (June 14 2017)