Goniometrická rovnice

1. ${\displaystyle \cos x=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$
2. ${\displaystyle x_{1}={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$
3. ${\displaystyle x_{2}={\frac {7\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$

1. ${\displaystyle {\textrm {tg}}\,x=-{\sqrt {3}}}$
2. ${\displaystyle x={\frac {2\pi }{3}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$

1. ${\displaystyle (\sin x)^{2}+2\sin x-3=0}$
2. Zavedeme substituci ${\displaystyle a=\sin x}$:
   ${\displaystyle a^{2}+2a-3=0}$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   ${\displaystyle a_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-2\pm {\sqrt {16}}}{2}}={\frac {-2\pm 4}{2}}}$
   
   ${\displaystyle a_{1}={\frac {-2+4}{2}}={\frac {2}{2}}=1}$
   
   ${\displaystyle a_{2}={\frac {-2-4}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3}$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. ${\displaystyle \sin x=1}$
   2. ${\displaystyle \sin x=-3}$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. ${\displaystyle \sin x=1}$
      ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\pi +2k\pi }$
   2. ${\displaystyle \sin x=-3}$
      ${\displaystyle x=\phi }$

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

1. ${\displaystyle \sin \left(x+{\frac {\pi }{6}}\right)=1}$
2. Zavedeme substituci ${\displaystyle a=x+{\frac {\pi }{6}}}$:
   ${\displaystyle \sin a=1}$
3. ${\displaystyle a={\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$
4. Dosadíme substituci ${\displaystyle a=x+{\frac {\pi }{6}}}$:
   ${\displaystyle x+{\frac {\pi }{6}}={\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$
5. ${\displaystyle a=x+{\frac {\pi }{6}}}$:
   ${\displaystyle x={\frac {3\pi }{6}}+2k\pi -{\frac {\pi }{6}}}$
6. ${\displaystyle x={\frac {2\pi }{6}}+2k\pi }$
7. ${\displaystyle x={\frac {\pi }{3}}+2k\pi }$

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

1. ${\displaystyle {\sqrt {3}}\cos x=2-\sin x}$

2. umocníme rovnici na druhou:

${\displaystyle 3\cos ^{2}x=(2-\sin x)^{2}}$

3. použijeme vzorec ${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}$

${\displaystyle 3-3\sin ^{2}x=4-4\sin x+\sin ^{2}x}$

4. ${\displaystyle 0=4\sin ^{2}x-4\sin x+1}$

5. použijeme vzorec ${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}$

${\displaystyle (2\sin x-1)^{2}=0}$

6. celou rovnici odmocníme:

${\displaystyle 2\sin x-1=0}$

7. ${\displaystyle \sin x={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{1}}}={\frac {\pi }{6}}+2k\pi }$

${\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{2}}}={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi }$

8. z důvodu neekvivalentních úprav 2. a 6. je nutná zkouška

kořen ${\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{2}}}}$ rovnici nevyhovuje a jediným řešením je ${\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{1}}}}$

Takto je možné řešit rovnice se dvěma různými goniometrickými funkcemi

1. ${\displaystyle (\cot x)^{-1}=-(\tan x)^{-1}+2(\sin x)^{-1}}$
2. Použijeme vztahy mezi funkcemi:

${\displaystyle \tan x=2(\sin x)^{-1}-\cot x}$

${\displaystyle {\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}}$

1. zbavíme se zlomků:

${\displaystyle \sin ^{2}x=\cos x*(2-\cos x)}$

1. Použijeme vzorec ${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x}$

${\displaystyle 1-\cos ^{2}x=2\cos x-\cos ^{2}x}$

1. ${\displaystyle 1=2\cos x}$
2. ${\displaystyle \cos x=1/2}$
3. ${\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{1}}}={\frac {\pi }{6}}+2k\pi }$

${\displaystyle x_{\scriptstyle {\text{2}}}={\frac {11\pi }{6}}+2k\pi }$

1. Rovnice vyřešena