Funkce beth
Funkce Beth pojmenovaná po druhém písmenu hebrejské abecedy zapisovaná rovněž jako je jedním ze způsobů zápisu určitých nekonečných kardinálních čísel v teorii množin.
Definice
Funkce Beth přiřazuje každému ordinálnímu číslu následujícím rekurzivním způsobem kardinální číslo :[1]
- , kde je nejmenší nekonečný kardinál, viz Funkce alef.
- pro izolovaný ordinál (tj. mohutnost potenční množiny ).
- pro limitní ordinál .
Vztah k hypotézám kontinua
- Hypotéza kontinua je ekvivalentní s , tedy je mohutností potenční množiny spočetné množiny a tudíž rovna mohutnosti kontinua .
- Zobecněná hypotéza kontinua je ekvivalentní s , tedy pro všechna ordinální čísla .
Vztah k limitním a nedosažitelným kardinálům
Limitní kardinál se nazývá silně limitním, jestliže pro všechny kardinály .
- Kardinál je silně limitní, právě když pro limitní ordinál .[2]
Platí pro všechna ordinální čísla . Lze ukázat, že funkce má pevné body, tj. takové ordinály , pro než .
- Nejmenším pevným bodem je přitom limita posloupnosti , tedy neformálně .
- Zrovna tak jsou (silně) nedosažitelné kardinály pevnými body funkce .
Související články
Odkazy
Reference
- Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kap. I.5, S. 55.
- W. Wistar Comfort, Stylianos Negrepontis: The Theory of Ultrafilters (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 211). Springer, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06604-7, Lemma 1.23.
Portály: Matematika
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.