Izolovaný ordinál

Ordinální číslo ${\displaystyle \alpha \,\!}$ je izolované, pokud
${\displaystyle \alpha =0\vee (\exists \beta \in On)(\beta \cup \{\beta \}=\alpha )}$,
kde ${\displaystyle On}$ označuje třídu všech ordinálních čísel.

Každý konečný ordinál (tj. každé přirozené číslo) je izolovaný. Stačí si uvědomit, že

• ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{0\}\,\!}$
• ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0,1\}\,\!}$
• ${\displaystyle 3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}\,\!}$
• ${\displaystyle \ldots \,\!}$

Existují ale i nekonečné izolované ordinály, například označíme-li jako ${\displaystyle \omega \,\!}$ množinu přirozených čísel, která je rovněž ordinál, pak
${\displaystyle \omega +1=\{0,1,2,\ldots ,\omega \}=\omega \cup \{\omega \}\,\!}$ má předchůdce ${\displaystyle \omega \,\!}$.

Podobně má ${\displaystyle \omega +2\,\!}$ předchůdce ${\displaystyle \omega +1\,\!}$, takže se také jedná o izolovaný ordinál. Naproti tomu existují i ordinály, které nejsou izolované. Takovým ordinálům říkáme limitní. Nejmenším takovým ordinálem je právě ${\displaystyle \omega \,\!}$, ale existují i větší limitní ordinály – například ${\displaystyle \omega .2\,\!}$, ${\displaystyle \omega ^{2}\,\!}$ nebo ${\displaystyle (\omega ^{\omega })^{\omega }\,\!}$.

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

• Limitní ordinál
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Transfinitní indukce
• Transfinitní rekurze