Fundovaná relace

Relace R je fundovaná na třídě A, jestliže každá její neprázdná podmnožina ${\displaystyle \emptyset \neq B\subseteq A\,\!}$ má R-minimální prvek označovaný symbolem ${\displaystyle min_{R}(B)\,\!}$ .
Prvek ${\displaystyle x=min_{R}(B)\,\!}$ označíme za R-minimální prvek množiny B, pokud platí
${\displaystyle x\in B\land (\forall y\in B)\neg ([y,x]\in R)\,\!}$

R-minimální prvek je takový prvek nějaké podmnožiny B, pro který neexistuje žádný menší (ve smyslu relace R) v této podmnožině. Důvod, proč nemluvíme rovnou o minimálním prvku je ten, že nikde není řečeno, že fundovaná relace R je uspořádání - což ostatně opravdu nemusí být pravda.

Fundovaná relace totiž opravdu nemusí být uspořádání, i když na první pohled trochu připomíná ostré uspořádání. Problém je v tom, že fundovaná relace nemusí být (na rozdíl od uspořádání) tranzitivní.

Příklad: Na tříprvkové množině ${\displaystyle \{1,2,3\}\,\!}$ definujme relaci ${\displaystyle R=\{[1,2],[2,3]\}\,\!}$ . Snadno se dá ověřit, že taková relace je fundovaná, ale není tranzitivní - to by totiž musela obsahovat i uspořádanou dvojici ${\displaystyle [1,3]\,\!}$ .

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádný konečný cyklus (v tom se podobá ostrému uspořádání).
Kdybychom v předchozím příkladě přidali dvojici ${\displaystyle [3,1]\,\!}$, vznikla by relace ${\displaystyle R=\{[1,2],[2,3],[3,1]\}\,\!}$, která již není fundovaná - množina ${\displaystyle \{1,2,3\}\,\!}$ nemá v tomto případě žádný R-minimální prvek.

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádnou nekonečnou klesající posloupnost (v tom se podobá dobrému uspořádání).
Pokud najdu posloupnost prvků ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \,\!}$ takových že pro každé i je ${\displaystyle [a_{i+1},a_{i}]\in R\,\!}$, pak množina ${\displaystyle \{a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \}\,\!}$ nemá žádný R-minimální prvek.

Konečný cyklus je zvláštní případ, vedoucí na nekonečnou klesající posloupnost - pokud se vrátím k předchozímu příkladu s relací ${\displaystyle R=\{[1,2],[2,3],[3,1]\}\,\!}$, můžu sestojit nekonečnou klesající posloupnost ${\displaystyle \{3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,\ldots \}\,\!}$.

Z axiomu výběru se dá ukázat, že relace R je fundovaná tehdy a jen tehdy, když neobsahuje nekonečnou klesající posloupnost.

• Axiom fundovanosti
• Axiom výběru
• Fundované jádro
• Dobré uspořádání
• Mostowského kolaps