Fibonacciho halda

Operace hledání minima je velmi triviální, protože máme vytvořený ukazatel na příslušný uzel. Tato operace nemění potenci haldy, a její složitost nabývá konstantních hodnot O(1).

Jak bylo zmíněno výše, zřetězení se provádí prostým spojením seznamů s kořenovými prvky stromů jednotlivých hald. Operace je provedena s konstantní amortizovanou složitostí a bez změny potence.

Při slévání stromů tvořících jednu haldu postupně sjednotíme kořeny stromů stejných stupňů. Uvažujeme, že počet kořenových prvků na počátku operace je N. Pokud máme dva kořeny U a V stejného stupně, vytvoříme z jednoho z nich syna druhého prvku tak, aby kořenovým zůstal prvek s menší hodnotou klíče. Jeho stupeň se pak zvětší o jedničku. Toto opakujeme, dokud v haldě existují dva stromy se stejným stupněm. K efektivnímu hledání stromů stejného stupně používáme pole ukazatelů, ve kterém uchováváme reference vždy na jeden kořen každého stupně. Pokud je nalezen druhý strom stejného stupně, oba stromy jsou spojeny a příslušný ukazatel v poli je aktualizován. Amortizovaná složitost tohoto algoritmu je O(log N).

Fibonacciho halda z obrázku 2 po prvním kroku odstranění minimálního prvku. Uzel s hodnotou klíče 1 (minimum) je odstraněn a z jeho synů jsou vytvořeny samostatné stromy.

Fibonacciho halda z obrázku 2 po provedení operace odstranění minimálního prvku. Nové minimum je prvek 2.

Operace odstranění minima probíhá ve třech krocích. V prvním odstraníme kořenový prvek s minimální hodnotou klíče. Jeho synové vytvoří kořenové prvky nových stromů. Počet těchto synů označíme D. Amortizovaná složitost tohoto kroku je pak O(D) = O(log N).

Jakmile je starý minimální prvek z haldy odstraněn, musíme najít nový kořenový prvek s minimální hodnotou klíče. Nevýhodou je vysoký počet kořenových prvků, jež může dosahovat hodnoty až N. V druhém kroku proto snížíme počet kořenových prvků tak, že provedeme slévání stromů.

Ve třetím kroku procházíme všechny zbývající kořenové prvky a z nich hledáme nové minimum. Potence haldy se při tomto kroku nemění.

Při operaci vložení nového prvku dojde k vytvoření nové haldy a následně k jejímu zřetězení s haldou původní. Operace opět proběhne s konstantní amortizovanou složitostí, pouze potence haldy vzroste o jednu.

Fibonacciho halda z obrázku 2 po provedení operace snížení hodnoty klíče prvku 9 na 0. Tento prvek je, právě tak jako dva označení otcové, odříznut od stromu s kořenem 1 a umístěný jako nový strom.

Operace snížení hodnoty klíče prvku změní hodnotu klíče na zadanou a současně provede kontrolu, zda je splněna lokální podmínka uspořádání haldy (tedy hodnota klíče otce je menší než hodnota klíče jeho syna). V případě, kdy tato podmínka není splněna, dojde k odříznutí prvku od jeho otce a přidání jako nového stromu. Pokud otec není kořenovým prvkem, je zvýrazněn. Pokud již zvýrazněn byl, bude také odříznut a přidán jako nový strom a jeho otec zvýrazněn. Stejným způsobem proces pokračuje vzhůru, dokud nedosáhne kořenového prvku nebo neoznačeného vrcholu. Počet stromů, které nově vzniknou při tomto procesu, si označíme jako K. Ze všech prvků, které byly zvýrazněné a staly se kořenovými prvky nových stromů, se zvýraznění odstraní. Naopak jeden prvek mohl být nově zvýrazněn. Potence byla snížena minimálně o K – 2. Operační náročnost snížení hodnoty klíče je konstantní, amortizovaně O(K).

Operace odstranění obecného prvku se skládá ze dvou kroků. Nejprve se provede snížení hodnoty klíče tohoto prvku tak, aby se tento prvek stal minimálním v celé haldě (např. snížení na hodnotu -∞, nebo při programování na minimální hodnotu příslušného datového typu). Druhým krokem je odstranění minimálního prvku. Amortizovaná složitost tohoto kroku je O(log n).