Dijkstrův algoritmus

Mějme graf ${\displaystyle G}$, v němž hledáme nejkratší cestu. Řekněme, že ${\displaystyle V}$ je množina všech vrcholů grafu ${\displaystyle G}$ a množina ${\displaystyle E}$ obsahuje všechny hrany grafu ${\displaystyle G}$. Algoritmus pracuje tak, že si pro každý vrchol ${\displaystyle v}$ z ${\displaystyle V}$ pamatuje délku nejkratší cesty, kterou se k němu dá dostat. Označme tuto hodnotu jako ${\displaystyle d[v]}$. Na začátku mají všechny vrcholy ${\displaystyle v}$ hodnotu ${\displaystyle d[v]=\infty }$, kromě počátečního vrcholu ${\displaystyle s}$, který má ${\displaystyle d[s]=0}$. Nekonečno symbolizuje, že neznáme cestu k vrcholu.

Dále si algoritmus udržuje množiny ${\displaystyle Z}$ a ${\displaystyle N}$, kde ${\displaystyle Z}$ obsahuje už navštívené vrcholy a ${\displaystyle N}$ dosud nenavštívené. Algoritmus pracuje v cyklu tak dlouho, dokud ${\displaystyle N}$ není prázdná. V každém průchodu cyklu se přidá jeden vrchol ${\displaystyle v_{min}}$ z ${\displaystyle N}$ do ${\displaystyle Z}$, a to takový, který má nejmenší hodnotu ${\displaystyle d[v]}$ ze všech vrcholů ${\displaystyle v}$ z ${\displaystyle N}$.

Pro každý vrchol ${\displaystyle u}$, do kterého vede hrana (označme její délku jako ${\displaystyle l(v_{min},u)}$) z ${\displaystyle v_{min}}$, se provede následující operace: pokud ${\displaystyle (d[v_{min}]+l(v_{min},u))<d[u]}$, pak do ${\displaystyle d[u]}$ přiřaď hodnotu ${\displaystyle d[v_{min}]+l(v_{min},u)}$, jinak neprováděj nic.

Když algoritmus skončí, pro každý vrchol ${\displaystyle v}$ z ${\displaystyle V}$ je délka jeho nejkratší cesty od počátečního vrcholu ${\displaystyle s}$ uložena v ${\displaystyle d[v]}$.

 1  function Dijkstra(E, V, s):
 2     for each vertex v in V:           // Inicializace
 3         d[v] := infinity              // Zatím neznámá vzdálenost z počátku s do vrcholu v
 4         p[v] := undefined             // Předchozí vrchol na nejkratší cestě z počátku s k cíli
 5     d[s] := 0                         // Vzdálenost z s do s
 6     N := V                            // Množina všech dosud nenavštívených vrcholů. Na začátku všech vrcholů.
 7     while N is not empty:             // Samotný algoritmus
 8         u := extract_min(N)           // Vezměme "nejlepší" vrchol                          
 9         for each neighbor v of u:
10             alt = d[u] + l(u, v)      // v 1. smyčce cyklu u je s d[u] = 0
11             if alt < d[v]              
12                 d[v] := alt
13                 p[v] := u

V případě, že nás zajímá pouze nejkratší cesta mezi zdrojovým a cílovým vrcholem, můžeme ukončit hledání na řádce 9 if u = target. Cestu ze zdroje do cíle pak zjistíme cyklem:

1 S := empty sequence 
2 u := target
3 while defined p[u]
4     insert u at the beginning of S
5     u := p[u]

Obecnější problém je nalezení nejkratších cest mezi zdrojovým vrcholem a všemi ostatními (případně nějakou jejich podmnožinou). V tomto případě je nutné v poli p[] ukládat všechny vrcholy splňující relaxační podmínku.

Nejjednodušší implementace Dijkstrova algoritmu používá pro uložení prioritní fronty pole a operace Extract-Min(${\displaystyle Q}$) je lineární prohledávání všech vrcholů v ${\displaystyle Q}$. V tomto případě je asymptotická časová složitost ${\displaystyle O(|V|^{2}+|E|)}$, kde ${\displaystyle |V|}$ je počet vrcholů a ${\displaystyle |E|}$ počet hran.

Pro řídké grafy (grafy s počtem hran mnohem menším než ${\displaystyle |V|^{2}}$) může být Dijkstrův algoritmus implementován mnohem efektivněji tím, že se graf ukládá pomocí seznamu sousedů a funkce Extract-Min se implementuje pomocí binární nebo Fibonacciho haldy. Poté algoritmus běží v čase ${\displaystyle O((|E|+|V|)\log |V|)}$, Fibonacciho halda čas zlepší na ${\displaystyle O(|E|+|V|\log |V|)}$.

• A*
• Bellmanův–Fordův algoritmus
• Floydův–Warshallův algoritmus

• E. W. Dijkstra: A note on two problems in connexion with graphs. In: Numerische Mathematik. 1 (1959), S. 269–271
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, a Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Sekce 24.3: Dijkstra's algorithm, pp.595–601.
• Jakub Černý: Nejkratší cesta v grafu, in: Základní grafové algoritmy (PDF)

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Dijkstrův algoritmus na Wikimedia Commons
• Nejkratší cesta v ohodnoceném grafu - popis Dijkstrova algoritmu
• Halda, Dijkstrův algoritmus