Eukleidova věta

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB, tvrzení vyplývá z podobnosti trojúhelníků APC a CPB:

${\displaystyle v_{c}:c_{a}=c_{b}:v_{c}.}$

Větu lze rovněž dokázat pomocí Pythagorovy věty, z ní plyne:

${\displaystyle v_{c}^{2}=b^{2}-c_{b}^{2}}$

${\displaystyle v_{c}^{2}=a^{2}-c_{a}^{2}}$

Rovnice sečteme:

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=a^{2}+b^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}}$

upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=c^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}}$

rozepíšeme a roznásobíme dvojmoc přepony, odečteme dvojmoci jejích úseků:

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=(c_{a}+c_{b})^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}}$

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=c_{a}^{2}+2c_{a}c_{b}+c_{b}^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}}$

${\displaystyle 2v_{c}^{2}=2c_{a}c_{b}}$

a vydělíme dvěma:

${\displaystyle v_{c}^{2}=c_{a}c_{b}}$

Velký trojúhelník je poskládán dvěma způsoby. Čtverec nad výškou je nahrazen obdélníkem.

Důkaz s využitím Pythagorovy věty není zdaleka jediným. Tvrzení lze elementárně dokázat pomocí podobnosti trojúhelníků, v Eukleidových Základech je tato rovnosti obsahů čtverce a obdélníka dokázána v druhém díle (Kniha II, tvrzení 14). Nejjednodušší je důkaz přerovnáním shodných útvarů.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojíme růžový čtverec nad výškou v a obdélník se stranami c_a a c_b. Doplníme obrázek do velkého pravoúhlého trojúhelníku. Velký trojúhelník je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu ${\displaystyle v^{2}}$je ve druhém rozkladu nahrazen obdélníkem o obsahu ${\displaystyle c_{a}\cdot c_{b}}$. Odtud růžové objekty musí mít stejný obsah.

Předpokládáme, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše), z Pythagorovy věty plyne:

${\displaystyle a^{2}=v_{c}^{2}+c_{a}^{2}}$

${\displaystyle a^{2}=c_{a}c_{b}+c_{a}^{2}}$

${\displaystyle \ a^{2}=(c_{a}+c_{b})c_{a}}$

${\displaystyle \ a^{2}=cc_{a}}$

Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.

Důkaz Eukleidovy věty o odvěsně. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsoben. Čtverec nad odvěsnou je nahrazen obdélníkem.

Podobně jako u předcházející věty je možné tvrzení dokázat pomocí podobnosti trojúhelníků, nebo přerovnáním shodných útvarů. V Eukleidových Základech je tato rovnosti obsahů čtverce a obdélníka naopak součásti důkazu Pythagovy věty (Kniha I, tvrzení 47).

Pro zelený pravoúhlý trojúhelník ABC sestrojíme růžový čtverec nad odvěsnou b = AC a obdélník se stranami c a c_b. Doplníme obrázek šedými pomocnými trojúhelníky. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu ${\displaystyle b^{2}}$je nahrazen obdélníkem o obsahu ${\displaystyle c\cdot c_{b}}$.