Diracova notace

Vektor a je označován symbolem ${\displaystyle |a\rangle }$. Protože jsme v prostoru se skalárním součinem ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$, je dobře definován duální vektor ${\displaystyle \mathbf {a} ^{*}=(\mathbf {a} ,\cdot )}$ a značí se ${\displaystyle \langle a|}$. Vektory se nazývají ket-vektory a duální vektory bra-vektory. Jde o slovní hříčku, protože akce bra-vektoru ${\displaystyle \langle a|}$ na ket-vektor ${\displaystyle |b\rangle }$ je podle definice jejich skalární součin ${\displaystyle \langle a|b\rangle =(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$, což se anglicky říká bracket (závorka) (obvykle uvažujeme komplexní prostory a od skalárního součinu očekáváme linearitu v b a anti-linearitu v a). Pokud souřadnice vektoru ${\displaystyle |a\rangle }$ jsou v nějaké ortonormální bázi

${\displaystyle |a\rangle ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},}$

pak souřadnice vektoru ${\displaystyle \langle a|}$ v duální bázi jsou ${\displaystyle \langle a|=(a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots ,a_{n}^{*})}$ (* označuje komplexní sdružení). Za daných předpokladů můžeme také říct, že ${\displaystyle \langle a|}$ je hermiteovsky sdružený vektor k ${\displaystyle |a\rangle }$.

Diracova symbolika je výhodná proto, že je možné zapsat operátor, jeho vlastní čísla a vektory pomocí jednoho symbolu, např.

${\displaystyle {\hat {L}}|L\rangle =L|L\rangle }$,

kde ${\displaystyle {\hat {L}}}$ je operátor, ${\displaystyle L}$ představuje jeho vlastní číslo a ${\displaystyle |L\rangle }$ jeho vlastní vektor.

V případě diskrétních vlastních hodnot má předchozí vztah tvar

${\displaystyle {\hat {L}}|L_{n}\rangle =L_{n}|L_{n}\rangle =L_{n}|n\rangle }$

Pro hermiteovský operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$, tzn. ${\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}}$, pro který platí

${\displaystyle {\hat {A}}|f\rangle =|g\rangle }$

pak také platí

${\displaystyle \langle g|={(|g\rangle )}^{+}={({\hat {A}}|f\rangle )}^{+}={(|f\rangle )}^{+}{\hat {A}}^{+}=\langle f|{\hat {A}}}$

Hermiteovské operátory tedy působí na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejné (ve smyslu ztotožnění vektorů a duálů).

Mnoho formulí z lineární algebry se dá v Diracově notaci zapsat velmi přehledně. Například operátor ortogonální projekce na prostor, který má ortonormální bázi ${\displaystyle |e_{1}\rangle ,\ldots ,|e_{k}\rangle }$ se dá napsat jako ${\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|}$ (součin ket-vektoru a bra-vektoru je lineární operátor).