Dělení polynomu polynomem
Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomu polynomem , kde stupeň je menší než stupeň . Algoritmus je podobný algoritmu dělení se zbytkem.
Mějme dva polynomy a , kde je nenulový. Pak existují polynomy a takové, že
- a .
Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu se říká částečný podíl, polynom je zbytek při dělení polynomu polynomem [1].
Stupeň polynomu
Stupeň nulového polynomu je roven -1, stupeň nenulového polynomu je roven největšímu takovému, že je nenulové. Stupeň polynomu značíme [1].
Algoritmus dělení polynomů
Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.
Ukažme si například, že
Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:
1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou .
2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom .
3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou .
4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělenec výraz pod čarou.
5. Opakujeme krok 4.
6. Algoritmus zde končí.
Znamená to, že polynom je částečný podíl a je zbytek po dělení[2].
Dělitelnost polynomů
Jestliže zbytek při dělení polynomu polynomem je nulový polynom, říkáme, že polynom dělí polynom , nebo že polynom je dělitelný polynomem , nebo také, že polynom je dělitelem polynomu [1].
Kořen polynomu
Prvek se nazývá kořen polynomu , jestliže platí . Prvek a je kořenem polynomu právě tehdy, když polynom dělí polynom [1].
Praktické použití
Algoritmus se používá například při integrování racionálních lomených funkcí, když se počítá rozklad na parciální zlomky.
Reference
- DEMLOVÁ, Marie. Algebra pro VT. math.feld.cvut.cz. S. 16. Dostupné v archivu pořízeném dne 2019-01-07.
- Dělení mnohočlenů mnohočlenem