Dělení polynomu polynomem

Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomu polynomem , kde stupeň je menší než stupeň . Algoritmus je podobný algoritmu dělení se zbytkem.

Mějme dva polynomy a , kde je nenulový. Pak existují polynomy a takové, že

a .

Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu se říká částečný podíl, polynom je zbytek při dělení polynomu polynomem [1].

Stupeň polynomu

Stupeň nulového polynomu je roven -1, stupeň nenulového polynomu je roven největšímu takovému, že je nenulové. Stupeň polynomu značíme [1].

Algoritmus dělení polynomů

Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.

Ukažme si například, že

Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:

1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou .

2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom .

3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou .

4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělenec výraz pod čarou.

5. Opakujeme krok 4.

6. Algoritmus zde končí.

Znamená to, že polynom je částečný podíl a je zbytek po dělení[2].

Dělitelnost polynomů

Jestliže zbytek při dělení polynomu polynomem je nulový polynom, říkáme, že polynom dělí polynom , nebo že polynom je dělitelný polynomem , nebo také, že polynom je dělitelem polynomu [1].

Kořen polynomu

Prvek se nazývá kořen polynomu , jestliže platí . Prvek a je kořenem polynomu právě tehdy, když polynom dělí polynom [1].

Praktické použití

Algoritmus se používá například při integrování racionálních lomených funkcí, když se počítá rozklad na parciální zlomky.

Reference

  1. DEMLOVÁ, Marie. Algebra pro VT. math.feld.cvut.cz. S. 16. Dostupné v archivu pořízeném dne 2019-01-07.
  2. Dělení mnohočlenů mnohočlenem
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.