Polynom
Stupeň polynomu
Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x2 – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) = .
Příklady polynomů
- je polynom 1. stupně (lineární polynom)
- je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
- je polynom 3. stupně (kubický polynom)
Operace s polynomy
Mějme polynom -tého stupně , a polynom -tého stupně .
- Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. pro všechna pouze tehdy, je-li a pro každé platí .
- Sečtením polynomů a získáme polynom
- ,
kde . Stupeň výsledného polynomu je . (Odpovídající koeficienty polynomů a mohou v součtu dávat 0.)
- Součin polynomů je polynom , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je .
- Platí tedy, že .
- Je-li kde , pak existují právě dva polynomy takové, že platí
kde má stupeň menší než nebo je nulovým polynomem. Pokud je nulový polynom, pak říkáme, že polynom je dělitelný polynomem .
- Polynomy tvoří vektorový prostor.
Hornerovo schéma
Polynom lze zapsat ve tvaru
Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu v bodě postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li
- ,
- ,
- ,
- …
- ,
pak poslední číslo představuje právě hodnotu polynomu v bodě .
Příklady
- Mějme polynomy ,
- Pokusme se zjistit, zda je polynom dělitelný polynomem .
Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu členem s nejvyšší mocninou polynomu , tzn. . První člen polynomu tedy bude . Tímto členem vynásobíme polynom (dostaneme tedy ) a výsledek odečteme od polynomu , čímž získáme nový polynom .
Nejvyšší člen polynomu opět dělíme nejvyšším členem polynomu , tzn. , tzn. další člen polynomu je . Tímto členem opět násobíme polynom , tzn. získáme , a výsledek odečteme od polynomu . Získáme nový polynom .
Stupeň polynomu je však nižší než stupeň polynomu , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom tedy odpovídá polynomu .
Výsledek tedy je
- ,
tzn. a .
Vzhledem k tomu, že , není polynom dělitelný polynomem .
Kořen polynomu
Číslo se nazývá kořen polynomu , jestliže platí
Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.
Vlastnosti
- Je-li kořenem polynomu stupně , pak
- ,
kde je polynom stupně .
- Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze kořenů polynomu -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu stupně , tzn.
- ,
kde představují známé kořeny polynomu . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu stačí hledat pouze kořeny polynomu , tzn. řešit rovnici , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu . Polynom získáme z polynomu jeho vydělením výrazem .
Rozklad na kořenové činitele
- Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom stupně lze zapsat ve tvaru
- ,
kde jsou kořeny polynomu . Členy označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).
Násobnost kořene
- Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát
- ,
kde , přičemž jsou přirozená čísla. Čísla určují násobnost kořene , tzn. kolikrát se kořen vyskytuje v řešení polynomu.
- Pokud má polynom stupně s reálnými koeficienty -násobný kořen , má také -násobný kořen . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem .
- Podle předchozího tvrzení lze každý polynom stupně s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla , reálných kořenových činitelů a reálných trojčlenů , splňujících podmínku , tzn.
- ,
kde jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka .
Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.
- ,
kde určuje počet reálných kořenů polynomu a je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.
- Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.
- Pokud jsou kořeny polynomu , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy
- …
Derivace polynomu
- Derivací polynomu rozumíme polynom tvaru . Derivaci značíme '
(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)
- n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce
'
'
Souvislost derivace a násobnosti kořene
Číslo je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu (a není kořenem derivace řádu ).
Polynom dvou proměnných
Funkci dvou proměnných označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla a konstanty takové, že platí
- .
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu polynom na Wikimedia Commons
- Slovníkové heslo mnohočlen ve Wikislovníku
- Kalkulačka na hledání reálných kořenů polynomu