Dělení nulou

Když se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např.: Pokud máme deset kvádrů a rozdělíme je na skupiny po pěti, dostaneme dvě stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádrů v každé části a výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“.

Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“ nedává smysl, protože přičítáním částí o 0 prvcích se deset kusů nikdy nezíská.

Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např.: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.

Brahmasphutasiddhanta od Brahmagupty (598–668) je první známý spis, který považoval nulu za normální číslo a definoval operace ji obsahující. Autorovi se ale nepodařilo vysvětlit dělení nulou, jeho definice vede k absurdním algebraickým závěrům. Brahmagupta píše:

Kladné nebo záporné číslo dělené nulou je zlomek se jmenovatelem nula. Nula dělená záporným nebo kladným číslem je buď nula, nebo je vyjádřena jako zlomek s čitatelem nula a konečným množstvím jako jmenovatelem. Nula dělená nulou je nula.

Mahavira se v roce 830 neúspěšně pokusil opravit Brahmaguptovu chybu:

Číslo zůstává nezměněno, když je děleno nulou.

Bháskara II. se pokusil problém vyřešit definováním ${\displaystyle \textstyle {\frac {n}{0}}=\infty }$. Tato definice dává určitý smysl, ale může vést k paradoxům, pokud se s ní nezachází opatrně.

Např. ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}={\frac {2}{0}}}$, což by při odstranění zlomků vycházelo ${\displaystyle 1=2}$. To je nesmysl.

Přirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech přirozených čísel, celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel (nerozšířených o nekonečno) definováno. Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, tzn. že hodnota a/b je kořenem x rovnice bx=a, kdykoliv je taková hodnota právě jedna. Jinak není hodnota definovaná.

Pro b = 0 může být rovnice bx = a napsána jako 0x = a nebo prostě 0 = a. Proto v tomto případě rovnice bx = a nemá žádné řešení, pokud se "a" nerovná 0, a má nekonečně mnoho řešení, pokud se a rovná 0. Ani v jednom případě tedy rovnice nemá právě jedno řešení, a a/b není proto definované.

Na první pohled vypadá možné definovat ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$ jako limitu ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ pro b jdoucí k 0.

Pro každé kladné a platí:

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }$

Pro každé záporné a platí:

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={-}\infty }$

Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.

Za prvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.

Za druhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$ jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. Toto se dá ilustrovat na rovnici:

${\displaystyle +\infty ={\frac {1}{0}}={\frac {1}{-0}}=-{\frac {1}{0}}=-\infty }$,

což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.

Dále neexistuje žádná zřejmá definice ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$, která by mohla být odvozena za použití limit. Limita

${\displaystyle \lim _{(a,b)\to (0,0)}{a \over b}}$

neexistuje. Limita

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{f(x) \over g(x)}}$,

kde se f(x) i g(x) blíží 0, když se x blíží 0, může konvergovat k jakékoliv hodnotě nebo nemusí konvergovat vůbec. (Viz též L'Hospitalovo pravidlo.)

Standard IEEE pro dvojkovou aritmetiku v plovoucí řádové čárce, podporovaný skoro všemi moderními procesory, specifikuje, že každá operace v plovoucí řádové čárce včetně dělení nulou má dobře definovaný výsledek. V IEEE 754 je a ÷ 0 kladné nekonečno, pokud je a kladné, záporné nekonečno, pokud je a záporné, a NaN (not a number), pokud a = 0. Znaménka nekonečen se mění při dělení –0. To je možné díky tomu, že v IEEE 754 jsou dvě nuly, kladná a záporná.

S celočíselným dělením nulou se obvykle zachází jinak, protože neexistuje celočíselná reprezentace takového výsledku. Některé procesory vygenerují výjimku při pokusu o dělení nulou, jiné prostě pokračují a vygenerují nesprávný výsledek dělení (často nulu).

Kvůli nesprávným algebraickým výsledkům při přiřazování jakéhokoliv výsledku dělení nulou mnoho programovacích jazyků (včetně těch používaných v kalkulačkách) výslovně zakazuje provedení takové operace a mohou předčasně ukončit program, který se o dělení nulou pokouší, někdy s chybou „dělení nulou“. Některé programy (zejména ty, které používají aritmetikou v pevné řádové čárce a nemají žádný speciální hardware na operace v plovoucí řádové čárce) se chovají podobně jako standard IEEE, když používají velká kladná nebo záporná čísla pro aproximaci nekonečna. V některých programovacích jazycích vyústí pokus o dělení nulou v nedefinované chování.

• NaN
• NULL
• lineární lomená funkce

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Dělení nulou na Wikimedia Commons