Cliffordův torus

Jednotková kružnice S¹ v R² může být parametrizován úhlem souřadnic:

${\displaystyle S^{1}=\{(\cos \theta ,\sin \theta )\mid 0\leq \theta <2\pi \}.}$

V jiný kopii R², nabývá jiné kopie jednotkové kružnice

${\displaystyle S^{1}=\{(\cos \varphi ,\sin \varphi )\mid 0\leq \varphi <2\pi \}.}$

Pak Cliffordův torus je

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\{{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\mid 0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \}.}$

Protože každá kopie S¹ je vložení podvarieta R², Cliffordův torus je vložený torus v R² × R² = R⁴.

Pokud R⁴ popisuje vztah souřadnic (x₁, y₁, x₂, y₂), pak Cliffordův torus popisuje vztah

${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1/2=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.}$

To ukazuje, že v R⁴ Cliffordův torus je podvarietou jednotkové 3-sféry S³.

je snadné ověřit, že Cliffordův torus je minimálním povrchem v S³.

Ploché tory v jednotkové 3-sféry S³, které jsou součinem kružnic o poloměru r ve stejné 2-rovině R² a poloměru ${\displaystyle {\sqrt {1-r^{2}}}}$ v jiné 2-rovině R² se také někdy nazývají „Cliffordovy tory“.

Na tytéž kružnice můžeme pohlížet jako že mají poloměry, které jsou cos(θ) a sin(θ) pro nějaký úhel θ v intervalu 0 ≤ θ ≤ π/2 (kam zahrnujeme degenerované případy θ = 0 a θ = π/2).

Sjednocení pro 0 ≤ θ ≤ π/2 všech těchto torů tvaru

${\displaystyle T_{\theta }=S(\cos \theta )\times S(\sin \theta )}$

(kde S(r) označuje kružnice v rovina R² definovaný vztahem mající střed (0, 0) a poloměr r) je 3-sféra S³. (Pamatujte, že musíme zahrnout dva degenerované případy θ = 0 a θ = π/2, z nichž každý odpovídá hlavní kružnici S³ a který současně dává dvojici polárních hlavních kružnic.)

Lze hned vidět, že aby tento torus T_θ měl plochu

${\displaystyle \operatorname {area} (T_{\theta })=4\pi ^{2}\cos \theta \sin \theta =2\pi ^{2}\sin 2\theta ,}$

pak pouze torus T_π/4 má maximální možnou plochu 2π². Tento torus T_π/4 je torus T_θ, který se nejčastěji nazývá „Cliffordův torus“ – a je také jediným z T_θ, který je minimálním povrchem v S³.

Jakákoli jednotková koule S²ⁿ⁻¹ v eukleidovském prostor sudé dimenze R²ⁿ = Cⁿ může být vyjádřena pomocí komplexních souřadnic takto:

${\displaystyle S^{2n-1}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}=1\}.}$

Pak, pro jakákoli nezáporná čísla r₁, ..., r_n tak, že r₁² + ... + r_n² = 1, můžeme definovat zobecněný Cliffordův torus takto:

${\displaystyle T_{r_{1},\ldots ,r_{n}}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n\}.}$

Tyto zobecněné Cliffordovy tory jsou vesměs disjunktní. Můžeme jednou opět dojít k závěru, že sjednocení každého jeden těchto torů T_{r1, ..., rn} je jednotka (2n − 1)-koule S²ⁿ⁻¹ (kam musíme opět zahrnout degenerované případy, kde alespoň jeden z poloměrů r_k = 0).

• Cliffordův torus je „plochý“; může být narovnán do roviny bez napnutí, na rozdíl od standardního rotačního toru.
• Cliffordův torus dělí 3-sféru na dva shodné pevné tory. (Ve stereografické projekci se Cliffordův torus objevuje jako standardní rotační torus. Fakt, že dělí 3-sféru stejně znamená, že vnitřek promítnutého toru je ekvivalentní s vnějškem, což nelze snadno vizualizovat).

V symplektické geometrii je Cliffordův torus příkladem vložené symplektické variety C² se standardní symplektickou strukturou. (Samozřejmě jakýkoli součin vložené kružnice v C dává Lagrangovský torus C², takže to nemusí být Cliffordovy tory.)

Hsiangova–Lawsonova domněnka tvrdí, že každý torus minimálně vložený do 3-sféry s round metric musí být Cliffordův torus. Tuto domněnku dokázal Simon Brendle v roce 2012.

Cliffordovy tory a jejich obrazy při konformní transformaci jsou globální minimalizátory Willmorova funkcionálu.