Cauchyho–Schwarzova nerovnost

Na unitárním prostoru ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ se skalárním součinem ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ platí:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle \ \forall x,y\in {\mathcal {V}}}$.

Můžeme obě strany nerovnosti odmocnit a dostaneme ekvivalentní tvrzení:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|\ \forall x,y\in {\mathcal {V}}}$.

Navíc, rovnost nastává právě tehdy, když jsou ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ lineárně závislé.

Pro každé ${\displaystyle x,y\neq 0}$ existuje ${\displaystyle z}$ takové, že:

${\displaystyle x=\lambda y+z}$, kde ${\displaystyle \lambda ={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }},\ z\bot y}$.

Za použití Pythagorovy věty dostaneme:

${\displaystyle \|x\|^{2}=|\lambda |^{2}\|y\|^{2}+\|z\|^{2}\geq |\lambda |^{2}\|y\|^{2}={\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{4}}}\|y\|^{2}={\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}}}$

Z čehož plyne:

${\displaystyle \|x\|^{2}\|y\|^{2}\geq |\langle x,y\rangle |^{2}}$.

Což je po úpravě požadovaná nerovnost.

Pokud máme rovnost, tak nutně ${\displaystyle \|z\|=0\Rightarrow z=0}$ a tudíž: ${\displaystyle x=\lambda y}$ jsou ${\displaystyle x,y}$ lineárně závislé.

• Trojúhelníková nerovnost