Hölderova nerovnost
Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.
Znění
Na prostoru s mírou mějme μ-měřitelné funkce na . Dále nechť existují čísla , taková, že: . Pak platí:
- .
Důležité speciální případy
Pro následující případy předpokládejme, že a .
Aritmetická míra
V případě -rozměrného Eukleidovského prostoru , s množinou a aritmetickou mírou dostáváme:
- .
Rovnost nastává, právě když .
Lp prostory
Pokud , tak a navíc:
Pro pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
Důkaz
Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a platí . Rovnost nastává, právě když r=s nebo . Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.