Cauchyovo limitní odmocninové kritérium

Rozhodovací diagram pro Cauchyovo limitní odmocninové kritérium

Toto kritérium konvergence řad navrhl Augustin Louis Cauchy a publikoval jej ve své učebnici Cours d'analyse (1821)[1]. Pro řadu

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

používá Cauchyovo kritérium hodnotu

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

kde „lim sup“ označuje limes superior, případně ∞+.[2] Pokud konverguje výraz

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

pak se rovná C a tato hodnota může být použita jako kritérium konvergence.

Cauchyův kritérium říká, že:

• pokud C < 1, pak řada konverguje absolutně,
• pokud C > 1, pak řada diverguje,
• pokud C = 1 a limita se blíží striktně shora, pak řada diverguje,
• jinak je test nerozhodný (řada může divergovat, konvergovat absolutně nebo konvergovat podmíněně).

Existují řady, pro které C = 1 a řada konverguje, například ${\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}$ a existují jiné, pro které C = 1 a řada diverguje, například ${\displaystyle \textstyle \sum 1/n}$.

Toto kritérium lze používat pro mocninné řady

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

kde koeficienty c_n a střed p jsou komplexní čísla a argument z je komplexní proměnná.

Členy této řada jsou a_n = c_n(z − p)ⁿ. Pak lze použít odmocninové kritérium na a_n, jako je uvedeno výše. Pamatujte, že někdy řada jako toto se nazývá mocninná řada "okolo p", protože poloměr konvergence je poloměr R největší interval nebo kruh se středem v p tak, že řada bude konverguje pro všechny body z striktně uvnitř (konvergence na hranici intervalu nebo obecně kruhu musí být zkontrolována odděleně). Důsledek odmocninového kritéria aplikovaný na takovou mocninnou řadu je, že poloměr konvergence je přesně ${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$, přičemž je ∞, pokud je jmenovatel 0.

Důkaz konvergence řady Σa_n vychází ze srovnávacího kritéria. Pokud pro všechny n ≥ N (N nějaké pevné přirozené číslo) platí ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1,}$ pak ${\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}$. Protože geometrická řada ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$ konverguje, pak podle srovnávacího kritéria konverguje i ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}$. Tedy Σa_n konverguje absolutně.

Pokud ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$ pro nekonečně mnoho n, pak a_n nekonverguje k 0, a tedy řada diverguje.

Důkaz důsledku: U mocninné řady Σa_n = Σc_n(z − p)ⁿ jsme výše viděli, že řada konverguje, pokud existuje N takové, že pro všechna n ≥ N je

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

což je ekvivalentní s

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

pro všechna n ≥ N. Z toho plyne, že aby řada konvergovala, musí platit ${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$ pro všechna dostatečně velká n. To je ekvivalentní s

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

takže ${\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$ Nyní jediné jiné místo, kde je možná konvergence, je pokud

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}$

(protože v bodech, kde > 1 bude řada divergovat), což poloměr konvergence nezmění, protože se jedná pouze o body ležící na hranici intervalu nebo kruhu, takže

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$