Kritéria konvergence řad

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy ${\displaystyle \sum a_{n},\sum b_{n}}$, přičemž pro všechna ${\displaystyle n\,}$ platí ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}\,}$. Řadu ${\displaystyle \sum a_{n}}$ označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě ${\displaystyle \sum b_{n}}$ a řadu ${\displaystyle \sum b_{n}}$ jako majorantní řadu (majorantu) k řadě ${\displaystyle \sum a_{n}}$. Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. ${\displaystyle \sum b_{n}}$, konverguje také minoranta, tedy ${\displaystyle \sum a_{n}}$. Diverguje-li minoranta ${\displaystyle \sum a_{n}}$, diverguje také majoranta, tedy ${\displaystyle \sum b_{n}}$.

Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ tehdy, existuje-li reálné číslo ${\displaystyle 0<q<1}$ takové, že pro každé ${\displaystyle n}$ platí ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq q}$. Pokud je ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1}$, pak řada diverguje.

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ veličinu ${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$, pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konvergentní pro ${\displaystyle L<1\,}$, divergentní pro ${\displaystyle L>1\,}$ a pro ${\displaystyle L=1\,}$ může být konvergentní nebo divergentní.

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konverguje, pokud existuje reálné číslo ${\displaystyle 0\leq q<1}$ a pro každé ${\displaystyle n}$ platí ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq q}$. Pro případ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1}$ řada diverguje.

Pokud pro řadu s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ zavedeme ${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}}$, pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro ${\displaystyle K<1\,}$, divergentní pro ${\displaystyle K>1\,}$ a pro ${\displaystyle K=1\,}$ může konvergovat nebo divergovat.

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konvergentní tehdy, pokud existuje takové ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,r>1}$ a takové přirozené číslo ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$, že pro všechna ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ platí ${\displaystyle n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\geq r>1}$.

Jestliže existuje ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ takové, že pro všechna ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ platí ${\displaystyle n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\leq 1}$, pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ diverguje.

Jestliže pro řadu s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ zavedeme ${\displaystyle M=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)}$, pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro ${\displaystyle M>1\,}$, diverguje pro ${\displaystyle M<1\,}$ a pro ${\displaystyle M=1\,}$ může konvergovat i divergovat.

Nechť ${\displaystyle \sum a_{n}}$ je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako ${\displaystyle a_{n}=f(n)\,}$. Pokud ve funkci ${\displaystyle f(n)\,}$ nahradíme diskrétní proměnnou ${\displaystyle n\,}$ spojitou proměnnou ${\displaystyle x\,}$, přičemž ${\displaystyle f(x)\,}$ bude spojitou a klesající funkcí na intervalu ${\displaystyle \langle 1,+\infty )}$, pak podle tzv. integrálního kritéria je řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x}$. Pokud integrál ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x}$ diverguje, pak diverguje také řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$.

Pro alternující řady, které zapíšeme jako ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}a_{n}}$, kde ${\displaystyle a_{n}\geq 0\,}$, lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje ${\displaystyle n_{0}}$ takové, že ${\displaystyle a_{n_{0}}>a_{n_{0}+1}>a_{n_{0}+2}>...\,}$ (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$.

[1]Nechť ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je kladná posloupnost, pro niž existují ${\displaystyle q,\alpha \in \mathbb {R} }$, kladné ${\displaystyle \varepsilon }$ a omezená posloupnost ${\displaystyle (c_{n})\,}$ taková, že pro všechny ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ platí:

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q-{\frac {\alpha }{n}}+{\frac {c_{n}}{n^{1+\varepsilon }}}}$

• Když ${\displaystyle q<1\,}$ nebo když ${\displaystyle q=1\,}$ a ${\displaystyle \alpha >1\,}$, pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konverguje.
• Když ${\displaystyle q>1\,}$ nebo když ${\displaystyle q=1\,}$ a ${\displaystyle \alpha \leq 1}$, pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ diverguje.

Nechť ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je reálná posloupnost a ${\displaystyle (b_{n})\,}$ komplexní posloupnost, pro které platí:

• ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je od jistého indexu monotonní a ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$;
• ${\displaystyle (b_{n})\,}$ má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ konverguje.

Nechť ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je reálná posloupnost a ${\displaystyle (b_{n})\,}$ komplexní posloupnost, pro které platí:

• ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je monotonní a omezená;
• ${\displaystyle \sum b_{n}}$ je konvergentní řada.

Pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Convergence tests na anglické Wikipedii.

• L'Hospitalovo pravidlo
• Přesunové pravidlo

• LEITHOLD, Louis. The Calculus, with Analytic Geometry. 2. vyd. New York: Harper & Row, 1972. Dostupné online. ISBN 0-06-043959-9. S. 655–737.

• Flowchart pro výběr kritérium konvergence