Carmichaelova domněnka

Carmichaelova domněnka je otevřený problém z teorie čísel týkající se oboru hodnot Eulerovy funkce $\varphi (n)$ . Domněnka spočívá v tvrzení, že každé číslo z tohoto oboru hodnot má alespoň dva předobrazy, tzn. neexistuje $n\in \mathbb {N}$ takové, že rovnice $\varphi (x)=n$ má právě jedno řešení. Podle Schlafly & Wagon[1] by případný protipříklad musel mít alespoň $10^{7}$ číslic, tzn. překročit $10^{10^{7}-1}$ . V roce 1999 tuto hranici posunul Kevin Ford na $10^{10}$ číslic[2].

Robert Carmichael tuto domněnku publikoval roku 1907, ovšem chybně jako větu[3]. Chybu v důkazu objevil a publikoval roku 1922[4]. Problém zůstává dosud nerozhodnut.

Reference

Schlafly, Aaron, and Stan Wagon. "Carmichael’s conjecture on the Euler function is valid below 10^{10,000,000}." mathematics of computation 63.207 (1994): 415-419.
Ford, Kevin. "The number of solutions of φ (x)= m." Annals of mathematics 150.1 (1999): 283-311.
Carmichael, Robert Daniel. "On Euler’s 𝜙-function." Bulletin of the American Mathematical Society 13.5 (1907): 241-243.
Carmichael, Robert Daniel. "Note on Euler’s 𝜑-function." Bulletin of the American Mathematical Society 28.3 (1922): 109-110.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Schlafly, Aaron, and Stan Wagon. "Carmichael’s conjecture on the Euler function is valid below 10^{10,000,000}." mathematics of computation 63.207 (1994): 415-419.

[2] Ford, Kevin. "The number of solutions of φ (x)= m." Annals of mathematics 150.1 (1999): 283-311.

[3] Carmichael, Robert Daniel. "On Euler’s 𝜙-function." Bulletin of the American Mathematical Society 13.5 (1907): 241-243.

[4] Carmichael, Robert Daniel. "Note on Euler’s 𝜑-function." Bulletin of the American Mathematical Society 28.3 (1922): 109-110.