Algebraický výraz

Pro kvadratický dvojčlen a trojčlen platí:

${\displaystyle f(x)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)(a+b)}$;

${\displaystyle f(x)=(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)(a-b)}$;

${\displaystyle g(x)=(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$;

${\displaystyle g(x)=(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$

Rozklad výrazu na součin je vyjádření daného výrazu jako součin jednodušších, většinou již dále nerozložitelných, výrazů.

• Lze použít Viètovy vzorce nebo použití diskriminantu (pro kvadratický dvojčlen)
• Vytýkáním: před závorku vytkneme výraz, který se vyskytuje ve všech členech mnohočlenu.[3]

Příklad: ${\displaystyle x(2-y)+3(2-y)-z(2-y)=(2-y)(x+3-z)}$

Algebraické výrazy lze dělit:

• racionální algebraické výrazy, jež neobsahují odmocniny (${\displaystyle 3a+b^{2}}$; ${\displaystyle {\frac {7x+2}{3x^{2}+1}}}$); ${\displaystyle a,b,x\in R}$
• iracionální algebraické výrazy, které obsahují odmocniny

${\displaystyle 2{\sqrt[{}]{2}}+y}$ ; ${\displaystyle {\sqrt {a+1}}-{\sqrt {b}}}$; ${\displaystyle x\geqq 0,y\in R,a\geqq -1,b\geqq 0}$[4] Při úpravách iracionálních algebraických výrazů se využívají poznatky o odmocninách a mocninách s racionálními mocniteli a pravidla pro početní operace se zlomky.

Podmínky, pro které mají iracionální algebraické výrazy smysl (je třeba určit vždy před výpočtem výrazu):

1. jmenovatel musí být různý od nuly
2. základy sudých odmocnin musí být nezáporné

Usměrňování výrazů (odstranění odmocnin ze jmenovatele), využíváme především vzorce pro rozdíl druhých resp. třetích mocnin, event. součet třetích mocnin viz binomická věta. Příklad:${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}.{\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}+1}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{({\sqrt {2}})^{2}-1^{2}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}+1}{2-1}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{1}}={\sqrt {2}}+1}$ nebo: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}.{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {\sqrt {5}}{5}}}$

Složený lomený výraz je lomený výraz, který má v čitateli i jmenovateli také lomený výraz: ${\displaystyle {\frac {\frac {V_{1}}{V_{2}}}{\frac {V_{3}}{V_{4}}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}:{\frac {V_{3}}{V_{4}}}}$; platí že ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}}$ jsou libovolné lomené výrazy, přičemž pro všechny hodnoty proměnných je ${\displaystyle V_{2}\neq 0;V_{3}\neq 0;V_{4}\neq 0}$.

Krácení často provádíme při zjednodušování lomených výrazů. Aby bylo možné lomený výraz krátit, musí být jeho čitatel i jmenovatel zapsán ve tvaru součinu. Pokud tomu tak není, snažíme se lomený výraz nejprve vhodně upravit (což ovšem ne vždy lze). [3]