Časová hodnota peněz

U tohoto typu úročení se úročí jen základní jistina, úroky se vyplácejí na konci jednotlivých období a nepřičítají se k jistině (nevzniknou tedy úroky z úroků). Používá se zejména u časových period, které jsou kratší než jedno úrokové období a představují jeho určitou část (např. půjčka na 180 dní při ročním úr. období). Jedná se převážné o krátkodobé úvěry, krátkodobé cenné papíry a penále. Závislost konečné částky (budoucí hodnoty) a původní výše jistiny (tzv. současné hodnoty) lze vyjádřit následujícím matematickým vztahem (úrokové období 360 dní):

${\displaystyle FV=PV\cdot (1+{\frac {p}{100}}\cdot {\frac {t}{360}})=K_{n}=K_{0}\cdot (1+i\cdot n)}$

Srovnání typů úročení

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+{\frac {p}{100}}\cdot {\frac {t}{360}})}}=K_{0}={\frac {K_{n}}{1+i\cdot n}}}$

Doba splatnosti:

${\displaystyle t={\frac {FV-PV}{PV\cdot {\frac {p}{100}}}}\cdot 360{\mbox{ nebo také }}n={\frac {K_{n}-K_{0}}{K_{0}\cdot i}}}$

Úroková sazba:

${\displaystyle p={\frac {FV-PV}{PV\cdot {\frac {t}{360}}}}{\mbox{ nebo také }}i={\frac {K_{n}-K_{0}}{K_{0}\cdot n}}}$

Kde

${\displaystyle p}$ – roční úroková sazba v procentech;

${\displaystyle t}$ – doba splatnosti ve dnech;

${\displaystyle i={\frac {p}{100}}}$ – roční úroková sazba jako desetinné číslo;

${\displaystyle n={\frac {t}{360}}}$ – doba splatnosti v letech.

Jednoduché předlhůtní úročení je velmi podobné úročení polhůtnímu. Rozdíl tkví v tom, že úroky se vyplácejí hned na počátku jednotlivých období. Používá se méně často než úročení polhůtní, opět zejména u časových period, které jsou kratší než jedno úrokové období. Smluvní výše dnes poskytovaného kapitálu je zároveň i budoucí hodnotou. Současnou hodnotu představuje výše tohoto kapitálu snížená o úrok, který se vyplácí předlhůtně neboli hned v okamžiku poskytnutí kapitálu. Využití nalézá převážně při eskontu směnek bankám. Poplatek za eskont směnky se nazývá diskont. Budoucí hodnotu zde tvoří částka, kterou banka v budoucnu obdrží za eskontovanou směnku od dlužníka (emitenta) a současnou hodnotu tvoří částka, kterou obdrží původní vlastník směnky (remitent) od banky za eskontovanou směnku.

${\displaystyle PV=FV\cdot (1-{\frac {p_{d}}{100}}\cdot {\frac {t}{360}})=K_{0}=K_{n}\cdot (1-d\cdot n)}$

Vztah mezi polhůtní úrokovou mírou ${\displaystyle i}$ a diskontní mírou ${\displaystyle d}$ :

${\displaystyle i={\frac {d}{1-dt}}{\mbox{ }}d={\frac {i}{1+it}}}$

Kde

${\displaystyle p_{d}}$ – roční diskontní sazba v procentech;

${\displaystyle t}$ – lhůta, ve které bude splacená směnka vyjádřená ve dnech;

${\displaystyle d={\frac {p_{d}}{100}}}$ – roční diskontní sazba jako desetinné číslo;

${\displaystyle n={\frac {t}{360}}}$ – lhůta splatnosti směnky v letech.

Při složeném úročení se neúročí jen počáteční kapitál, ale i dříve připsané úroky. Budoucí hodnota proto roste exponenciálně, na rozdíl od jednoduchého úročení, kde roste lineárně. Úrokové období je převážně roční (terminologie není zcela jednoznačná, často se používá roční úr. období např. s měsíčním skládáním úroků, prakticky to znamená, že úr. období je jeden měsíc) a doba splatnosti je ${\displaystyle n}$ let, kde ${\displaystyle n}$ je celé kladné číslo. Úroky jsou připisovány polhůtně, vždy na konci roku. Využívá se u dlouhodobých úvěrů a cenných papírů, pokud kapitál je poskytnut a splacen přesně na konci roku, ale také i v mnoha dalších aplikacích. Závislost současné a budoucí hodnoty vyjadřují následující rovnice:

${\displaystyle FV=PV\cdot (1+{\frac {\frac {p}{100}}{m}})^{m\cdot n}=K_{n}=K_{0}\cdot (1+{\frac {i}{m}})^{m\cdot n}}$

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+{\frac {\frac {p}{100}}{m}})^{m\cdot n}}}=K_{0}={\frac {K_{n}}{(1+{\frac {i}{m}})^{m\cdot n}}}}$

Kde

${\displaystyle p}$ – roční úroková sazba v procentech;

${\displaystyle m}$ – počet skládání během jednoho roku;

${\displaystyle i={\frac {p}{100}}}$ – roční úroková sazba jako desetinné číslo;

${\displaystyle n}$ – doba splatnosti v letech.

Pro výpočet doby splatnosti a úrokové míry lze využit obecnějších vzorců pro smíšené úročení viz dále.

Předlhůtní složené úročení se v praxi nevyužívá a existuje pouze teoreticky. Podobá se jednoduchému předlhůtnímu úročení, kdy úroky se vyplácejí hned v okamžiku poskytnutí kapitálu.

Smíšené úročení je kombinací jednoduchého a složeného úročení. Předchozí typy úročení byly pouze zvláštními případy, které lze použít jen za stanovených podmínek. Smíšené úročení je zobecněním obou těchto metod. Prakticky délka úvěru může být např. 1,5 roku. Jak je vidět z grafu, pokud bychom použili jednoduché (lineární) úročení, do konce prvního roku by úroky byly vyšší než u složeného (exponenciálního) úročeni, ale v dalších letech by už bylo výhodnější použit naopak úročení složené. Smíšená metoda zohledňuje tyto faktory - celé roky se úročí složeně a necelé části roku se úročí jednoduše. Z tvaru rovnic je také patrné, že dosazováním příslušných hodnot se rovnice automaticky mění v jednoduchý, složený nebo smíšený typ úročení. Následující matematické vztahy lze proto využit při libovolném polhůtním typu úročení:

${\displaystyle FV=PV\cdot (1+{\frac {\frac {p}{100}}{m}})^{n_{nat}}\cdot (1+{\frac {p}{100}}\cdot {\frac {t}{360}})=K_{n}=K_{0}\cdot (1+{\frac {i}{m}})^{n_{nat}}\cdot (1+i\cdot l)}$

${\displaystyle K_{0}={\frac {K_{n}}{(1+{\frac {i}{m}})^{n_{nat}}\cdot (1+l\cdot i)}}}$

${\displaystyle n\approx {\frac {\ln(K_{n})-\ln(K_{0})}{m\cdot \ln(1+{\frac {i}{m}})}}}$

Kde

${\displaystyle n_{nat}}$ – nejbližší celé číslo, značící počet ukončených m-tin roku, resp. let, pokud je skládání právě roční;

${\displaystyle n}$ – doba splatnosti vyjádřená v letech (zjednodušený vztah, který není 100% přesný);

${\displaystyle l={\frac {t}{360}}}$ – délka zbytku, menšího než jedna m-tina od ${\displaystyle n_{nat}}$ až do konce doby splatnosti.

Smíšené předlhůtní úročení opět nemá v praxi využití.

Čím častěji jsou připisovány úroky (resp. kratší úrokovací období), tím je to pro věřitele výhodnější. Lze např. uplatnit úrok denní, hodinový, minutový, vteřinový apod. Pokud tento úsek bude nekonečně krátký, obdržíme spojité úročení - nejvýnosnější možný typ úročení.

${\displaystyle FV=PV\cdot e^{i\cdot n}=K_{n}=K_{0}\cdot e^{i\cdot n}}$

${\displaystyle PV=FV\cdot e^{-i\cdot n}=K_{0}=K_{n}\cdot e^{-i\cdot n}}$

${\displaystyle n=\ln({\frac {K_{n}}{K_{0}}})\cdot i^{-1}}$

Kde:

${\displaystyle i={\frac {p}{100}}}$ – roční úroková sazba jako desetinné číslo;

${\displaystyle n={\frac {t}{360}}}$ – lhůta splatnosti v letech.

• Finanční matematika
• Finanční derivát
• Úrok

• Peníze dnes a zítra - postarejte se o své finance, Radovan Novotný, 21. dubna 2006
• , Časová hodnota peněz na seminarky.cz
• Časová hodnota peněz v účetnictví^{[nedostupný zdroj]}, Jan Novotný (bakalářská práce VŠE)
• Pojem času ve finančním rozhodování podniku