Youngova nerovnosť

Youngova nerovnosť je matematická nerovnosť, ktorá dáva do súvisu súčin dvoch nezáporných čísel a súčet ich mocnín.

Nech $a,b\geq 0$ , $p,q\in (1,\infty )$ , $pq=p+q$ . Potom

ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}

.

Dôkaz

Pre $a=0$ alebo $b=0$ je dôkaz triviálny. Pre ostatné hodnoty z konkávnosti logaritmu dostávame

\ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\right)\geq {1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})=\ln(ab)

,

čo vďaka rastúcosti logaritmu implikuje dokazovanú nerovnosť.

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Youngova nerovnost na českej Wikipédii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.