Silové napätie v hmote

Už uvedený vzorec je iba jednoduchý koncept, pretože realita je zložitejšia. V trojrozmernom priestore existuje existujú tri zložky akéhokoľvek vektora sily. Lenže veľkosť plošnej sily závisí nielen od veľkosti plochy ale aj od jej natočenia v priestore. V trojrozmernom priestore existujú tri základné natočenia plochy (smery normály) a každé iné natočenie je kombináciou základných troch. To dáva spolu 3 zložky plošnej sily na 3 orientácie normály --- spolu 9 zložiek, pričom pri zmene súradnicovej sústavy sa spolu mení všetkých 9 zložiek. Na vyjadrenie takejto veličiny už nestačí pojem vektora, a zavádza sa pojem tenzor. Vektor je vlastne tenzor 1. rádu, tj. veličina, ktorá sa dá zapísať stĺpcom čísel. 9 zložiek silového napätia sa dá zapísať ako dvojrozmerná matica čísel, ktorej hovoríme tenzor 2. rádu. Tenzor 3. rádu by bola trojrozmerná kocka čísel, atď. Takže tenzor silového napätia v látke, v 3-rozmernom priestore, je vlastne špeciálna matica 3x3 čísel, ktorá sa pri zmene súradnicového systému transformuje podobne ako vektory. Je možné ju zapísať troma spôsobmi --- vektorovou symbolikou (dvoma šípkami), tenzorovým zápisom pomocou indexov, a maticou:

${\displaystyle {\vec {\vec {\sigma }}}=\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}\ }$

Na základe takejto reprezentácie tenzora je možné vyjadriť silu vo všeobecnom prípade:

${\displaystyle [{\vec {F}}]=S\,[{\vec {\vec {\sigma }}}]\cdot [{\vec {n}}]\ }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{bmatrix}}=S\,{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\\n_{z}\\\end{bmatrix}}\ }$

Prvý index zložky tenzora označuje normálu plochy na ktorej pôsobí, a druhý index označuje smer pôsobenia zložky. Existuje aj opačná interpretácia indexov (napr. u Grahama), ale prv uvedená je konzistentná s najčastejšou definíciou divergencie tenzora odvodenej z nasledovného zápisu (za predpokladu ${\displaystyle \nabla ={\vec {e_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ ):

${\displaystyle {\rm {div\ {\vec {\vec {\sigma }}}=\nabla \bullet {\vec {\vec {\sigma }}}\equiv _{(maticovo)}[{\vec {\vec {\sigma }}}]^{T}\cdot [\nabla ]\equiv _{(tenzorovo)}{\frac {\partial \sigma _{ji}}{\partial x_{j}}}\ }}}$

ktorá vystupuje v rovnováhe síl v mechanike tuhých látok a tekutín.

Bohužiaľ, nielenže sa používajú aj opačné interpretácie, ale často sú tieto vzťahy aj nekonzistentné v tom istom prameni. Našťastie, pre všetky súčasné reálne aplikácie je to jedno, pretože na konkrétnom význame indexov nezáleží, pretože sa dá dokázať že ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$ , t. j. tenzor je vždy symetrický voči diagonále. Dôležité je len to, aby boli všetky vzťahy konzistentné so zvolenou definíciou divergencie tenzora.

V mechanike tuhých látok pred zavedením tenzorov a v technických oboroch (napr. strojárstve) sa zvyknú rozlišovať dva druhy napätí:

• normálové napätia ${\displaystyle \sigma _{i}}$ , t. j. napätia pôsobiace kolmo na plochu
• tangenciálne napätia ${\displaystyle \tau _{ij}}$ , t. j. napätia pôsobiace v rovine

To sa dá zapísať nasledovne:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&0&0\\0&\sigma _{y}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&0&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&0\\\end{bmatrix}}\ }$

Naproti tomu v mechanike tekutín (v aerodynamike, hydraulike, ...) je užitočnejšie delenie tenzora napätí na:

• izotropickú časť (nemení sa pri zmene súradnicového systému); a
• neizotropickú (deviatorickú) časť.

Izotropický tenzor 2. rádu (čo je náš prípad napätí) obsahuje iba prvky na diagonále, pričom všetky sú rovnaké. Je to teda násobok jednotkovej matice (Kroneckerovho delta tenzora) a konštanty, ktorou je v prípade tekutín hydrostatický tlak. Hydrostatický tlak býva zďaleka najväčšou zložkou silových napätí v tekutine, preto je také delenie veľmi užitočné. Deviatorickú zložku zatiaľ označme ako s_ij:

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\,\delta _{ij}+s_{ij}\ }$

Pretože deviatorický tenzor s_ij je v tekutinách závislý iba od rýchlosti deformácie a od viskozity, hovorí sa mu aj tenzor viskóznych napätí. Pretože tangenciálne zložky viskózneho napätia sú zhodné s celkovými tangenciálnymi zložkami, namiesto symbolu ${\displaystyle s_{ij}\ }$ používa symbol ${\displaystyle \tau _{ij}\ }$ (takmer pravidlo v mechanike tekutín).

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\,\delta _{ij}+\tau _{ij}\ }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-p&0&0\\0&-p&0\\0&0&-p\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\tau _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\tau _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\tau _{zz}\\\end{bmatrix}}\ }$

Treba si zapamätať odlišný význam symbolu τ v mechanike tekutín oproti významu v inžinierskych oboroch. Jediný rozdiel je v tom, že na diagonále tenzora τ pribudli normálové viskózne napätia.

Upozornenie: V mechanike tekutín sa vyskytujú aj prípady s opačným významom symbolov σ a τ prípadne aj iným označením (π).

• Napätie
  • • Mechanické napätie
    • Napätie v tekutine
• Mechanika tekutín
• Tenzor
• Zápis vektorov a tenzorov podľa Hassenpfluga (TeX-ovský balík mattens.sty)

• Kuzmin, D. (2007). Introduction to CFD.
• Graham, J. (2005). AY 202 - Astrophysical Gas Dynamics.
• Anderson, J. D. J. (1995). Computational Fluid Dynamics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-001685-2
• Tannehill, J. C. et al. (1997). Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer. Taylor & Francis. ISBN 1-56032-046-X
• Schlichting, H. (1968). Grenzschicht theorie. Verlag G. Braun.
• Wesseling, P. (2000). Principles of Computational Fluid Dynamics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0
• Kundu, P. K. et al. (2002). Fluid Mechanics. Academic Press. ISBN 0-12-178251-4

Fyzikálny portál