Tálesova veta

Obrázok ku dôkazu.

Pri dôkaze použijeme nasledovné tvrdenia:

• súčet vnútorných uhlov v trojuholníku sa rovná 180°,
• základňové uhly rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké.

Nech ${\displaystyle O}$ je stred kružnice. Keďže platí ${\displaystyle OA=OB=OC}$, ${\displaystyle OAB}$ a ${\displaystyle OBC}$ sú rovnoramenné trojuholníky a na základe rovnosti základňových uhlov rovnoramenných trojuholníkov, ${\displaystyle OBC=OCB}$ a ${\displaystyle BAO=ABO}$. Označme uhly ${\displaystyle \gamma =BAO}$ a ${\displaystyle \delta =OBC}$. Tri vnútorné uhly trojuholníka ${\displaystyle ABC}$ sú potom ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \gamma +\delta }$ a ${\displaystyle \delta }$. Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180°:

${\displaystyle \gamma +(\gamma +\delta )+\delta =180^{\circ }}$

z toho vyplýva po úprave

${\displaystyle 2\gamma +2\delta =180^{\circ }\quad \Rightarrow \quad \gamma +\delta =90^{\circ }}$,

čo bolo treba dokázať.

Tálesova veta je špeciálnym prípadom nasledovnej vety:

Nech sú dané tri body ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ a ${\displaystyle C}$ na kružnici so stredom ${\displaystyle O}$, potom uhol ${\displaystyle AOC}$ je dvakrát taký veľký ako uhol ${\displaystyle ABC}$.

Dôkaz tejto vety je podobný ako dôkaz Tálesovej vety uvedený vyššie.

Konštrukcia dotyčnice využitím Tálesovej vety.

Tálesovu vetu môžeme použiť na konštrukciu dotyčnice danej kružnice, ktorá pretína daný bod (pozri obrázok). Nech je daná kružnica k so stredom O a vonkajší bod P mimo kružnice, chceme skonštruovať (na obrázku červenú) dotyčnicu (dotyčnice) kružnice k, ktorá pretína bod P. Označme bod, v ktorom sa (zatiaľ neznáma) dotyčnica t dotýka kružnice ako T. Zo symetrie je zrejmé, že polomer OT je kolmý na túto dotyčnicu. Nájdime stred H na úsečke spájajúcej body O a P a obkreslime kružnicu so stredom H cez tieto body. Podľa Tálesovej vety je hľadaný bod T priesečník tejto kružnice s danou kružnicou k, pretože to je bod na kružnici k, ktorý tvorí s bodmi O a P pravouhlý trojuholník OTP.

Pretože spomínané dve kružnice sa pretnú v dvoch bodoch, týmto spôsobom môžeme zostrojiť obe dotyčnice.

Táles nebol prvý, ktorý formuloval túto vetu, keďže Egypťania aj Babylončania ju poznali, pravdepodobne empiricky, pretože sa nenašli žiadne dokumenty s jej dôkazom. Veta je pomenovaná po Tálesovi, ktorému sa pripisuje jej prvý dôkaz. Táles použil svoje vlastné výsledky o základňových uhloch rovnoramenného trojuholníka a súčte vnútorných uhlov v trojuholníku.

• Kružnica a dotyčnica