Stopa matice

Stopu matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ o jednotlivých prvkoch ${\displaystyle \mathbf {a} _{ij}}$ môžeme označiť týmito ekvivalentnými spôsobmi:

${\displaystyle \mathrm {Tr} \mathbf {A} =\mathrm {Sp} \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}a_{ii}}$

Majme štvorcovú maticu ${\displaystyle \mathbf {A} }$ nad poľom ${\displaystyle \mathbf {K} }$ s členmi:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$

stopu tejto matice definujeme nasledujúcim predpisom:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{j=1}^{n}a_{jj}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\in K}$.

Majme štvorcové matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ a ${\displaystyle \mathbf {C} }$ nad poľom ${\displaystyle \mathbf {K} }$ o rovnakom rozmere ${\displaystyle \mathbf {n} }$×${\displaystyle \mathbf {n} }$. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

• Stopa reálnej alebo komplexnej matice je rovná sume jej vlastných hodnôt (zarátaných s danou násobnosťou). V charakteristickom polynóme vystupuje ako druhý koeficient. Má preto podobný význam ako determinant, ktorý je rovný súčinu vlastných hodnôt (umocnených s danou násobnosťou).

• Stopa je lineárne zobrazenie (${\displaystyle \mathbf {r} }$ a ${\displaystyle \mathbf {s} }$ patria poľu ${\displaystyle \mathbf {K} }$), to znamená:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (rA+sB)=r\cdot \mathrm {Tr} (A)+s\cdot \mathrm {Tr} (B)}$.

• Stopa súčinu matíc je invariantná voči cyklickej zámene (permutácii matíc:

${\displaystyle \mathrm {Tr} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )=\mathrm {Tr} (\mathbf {C} \cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}$

• Z predošlej vlastnosti plynie, že stopa je invariantná voči transformáciam báze pomocou nesingulárnej matice ${\displaystyle \mathbf {B} }$:

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(B^{-1}\cdot A\cdot B\right)=\mathrm {Tr} (A)}$.

• Pre všetky reálne alebo komplexné matice rozmeru ${\displaystyle n\times n}$ platí:

${\displaystyle \det \left(\exp \left(A\right)\right)=\exp \left(\operatorname {Tr} \left(A\right)\right)}$

• Pre transponovanú maticu ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$ platí:

${\displaystyle \mathrm {Tr} \mathbf {A} ^{T}=\mathrm {Tr} \mathbf {A} }$