Schwarzschildova metrika

Schwarzschildova metrika zapísaná v Boyerovo-Lindquistových súradniciach má tvar

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi ^{2}}$

kde ${\displaystyle G}$ je gravitačná konštanta, ${\displaystyle M}$ je interpretované ako hmotnosť centrálneho objektu a ${\displaystyle r_{s}}$ je tzv. Schwarzschildov (alebo gravitačný) polomer, ktorý možno vyjadriť ako

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

Schwarzschildova čierna diera sa vyznačuje existenciou horizontu udalostí, ktorý býva v prípade Schwarzschildovej metriky označovaný taktiež ako Schwarzschildova sféra. Schwarzschildova sféra leží na gravitačnom polomere ${\displaystyle r_{s}}$.

Okrem Schwarzschildovej sféry existuje okolo Schwarzschildovy čiernej diery tzv. fotónová sféra. Je to taká sféra, na ktorej vykonávajú fotóny rovnomerný kruhový pohyb okolo čiernej diery.

Ak položíme vo Schwarzschildovej metrike ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0}$, ${\displaystyle \mathrm {d} r=0}$ a ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$, potom vydelením ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ dostaneme

${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)}$

Deriváciou tohoto vzťahu a aplikáciou podmienky ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}=0}$ vyjadrujúcu rovnomernosť kruhového pohybu dostaneme pre polomer fotónovej sféry

${\displaystyle r_{f}={\frac {3GM}{c^{2}}}}$

Fotónová sféra teda leží vo vzdialenosti ${\displaystyle r=r_{f}}$. Fotónová sféra je význačná tým, že pod touto sférou už nemôžu existovať žiadne kruhové orbity.

Schwarzschildova metrika je singulárna pre ${\displaystyle r=0}$ a taktiež na Schwarzschildovej sfére ${\displaystyle r=r_{s}}$. Singularita na Schwarzschildovej sfére je však dôsledkom nevhodnej voľby súradníc a môže byť odstránená prechodom k inému súradnicovému systému. Takáto singularita je označovaná ako súradnicová. Singularitu v bode ${\displaystyle r=0}$ nie je možné odstrániť inou voľbou súradníc a ide teda o fyzikálnu singularitu geometrie časopriestoru.

• Metrika
• Gravitačná singularita
• Kerrova metrika
• Reissner-Nordströmova metrika
• Kerrova-Newmanova metrika
• Kruskalove-Szekeresove súradnice