Pozičná číselná sústava

Kľúčovou charakteristikou pozičných sústav je ich základ. To je zvyčajne prirodzené číslo väčšie ako jedna. Váhy jednotlivých číslic sú potom mocninami tohto základu. Zároveň základ určuje počet symbolov pre číslice používané v danej sústave. Základ zvyčajne značíme z, v literatúre sa však možno stretnúť aj so značením ako r z anglického "radix".

V pozičných číselných sústavách má tiež zmysel hovoriť o rádoch čísel. Kde za rád číslice považujeme jej váhu a za rád čísla maximálnu váhu nenulovej číslice.

Desiatková sústava, nazvaná podľa svojho základu (10) má desať symbolov pre číslice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Váhy jednotlivých číslic sú mocniny čísla 10: ...; 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; ... Pre sústavy o vyššom základe ako je tradičný počet číslic (teda desať) sa pre vyššie číslice používajú písmená bez akcentov. Napríklad šestnástková sústava tak má symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E a F.

V bežne používaných číselných sústavách sa jednotlivé číslice zapisujú za seba, nijako sa neoddeľujú. Čiarka odlišuje len celú a zlomkovú časť čísla. Niekedy sa pre prehľadnosť oddeľujú tiež významnejšie rády: tisíce, milióny, a pod. Číslo N v sústave o základe z sa tak zapisuje:

${\displaystyle N=(n_{k-1}n_{k-2}...n_{1}n_{0}{,}n_{-1}n_{-2}...n_{-l})_{r}\,\!}$, Kde ${\displaystyle n_{k-1}\,\!}$ je najvyššia významová číslica, ${\displaystyle n_{-l}\,\!}$ najmenej významová číslica a ${\displaystyle r}$ základ číselnej sústavy.

Takému zápisu sa hovorí jednoducho pozičný zápis, pretože pozícia každej číslice v danom čísle predstavuje jej relatívnu váhu významnosti. Pritom sa porovná s jednotkou (nultú mocninou základu) tým, že sa za jednotky zapíše jednotkový znak (desatinná čiarka).

V prípade desiatkovej sústavy sa číslo podľa konvencie nezapisuje do zátvoriek, ani nie je nutné k nemu písať jeho základ.

Napríklad Ludolfovo číslo v číselnej sústave o základe 10 a s presnosťou na 2 desatinné čísla možno zapísať pozične nasledovne: ${\displaystyle \pi =(3{,}14)_{10}\,\!}$

Hodnotu čísla N zapísanáho v danej sústave o základe z získame ako súčet hodnôt jednotlivých číslic vynásobených ich váhou. Teda napríklad hodnotu čísla (10010)₂ získame takto:

${\displaystyle (10010)_{2}=0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}=0+2+0+0+16=18}$

Takému zápisu sa hovorí polynomiálny zápis. Všeobecne možno zapísať číslo v číselnej sústave o základe r polynómom nasledovne:

${\displaystyle N=\sum _{i=-l}^{k-1}n_{i}{\cdot }r^{i}=n_{k-1}r^{k-1}+n_{k-2}r^{k-2}+...+n_{0}r^{0}+n_{-1}r^{-1}+...+n_{-l+1}r^{-l+1}+n_{-l}r^{-l}}$

Každá číslica ${\displaystyle n_{i}}$ sa tu vynásobí váhou, ktorá je daná jej pozíciou ${\displaystyle i}$ a ktorá je vyjadrená mocninou o základe ${\displaystyle r}$.

Postup pre zápis čísla v danej číselnej sústave sa líši pre jeho celú a zlomkovú časť.

Pre prenos čísla medzi sústavami možno použiť substitučnú metódu pri použití aritmetiky cieľovej sústavy alebo pre celé čísla metódu delenia základom a pre desatinné čísla metódu násobenia základom.

Bežný postup pri prevode čísel medzi dvoma číselnými sústavami je prevod cez desiatkovú sústavu. Ak však základ jednej sústavy je mocninou základu sústavy druhej, možno postupovať aj priamo. Obvykle sa tento postup používa pri prevode medzi dvojkovou a šestnástkovou. Pretože je 16=2⁴, zodpovedá každým štyrom čísliciam dvojkového čísla práve jedna číslica šestnástková. V danom prípade je (1001)₂=(9)₁₆ a (0001)₂=(1)₁₆ a preto (10010001)₂=(91)₁₆.

• Nepozičná číselná sústava
• Číselná sústava

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Poziční číselná soustava na českej Wikipédii.