Pologrupa s krátením

V matematike je pologrupa s krátením názov pre pologrupu, ktorá spĺňa zákony o krátení.

T.j. ide o pologrupu takú, že pre ľubovoľné platí

(Ak platí len jedna z uvedených podmienok, hovoríme o krátení zľava resp. sprava.)

Príklady
  • Každá grupa je pologrupa s krátením. (A teda aj ľubovoľná jej podpologrupa.)
  • Prirodzené čísla s obvyklým sčitovaním tvoria pologrupu s krátením. (Je to podpologrupa grupy .)
  • Ako jednoduchý príklad pologrupy, v ktorej neplatí zákon o krátení, môžeme zobrať celé čísla s násobením. Pre nulu totiž krátenie nefunguje. (Po vynechaní nuly už dostaneme pologrupu s krátením.)
  • Matice typu n×n tvoria s operáciou násobenia pologrupu. Pre singulárne matice však neplatí zákon o krátení.

Vlastnosti
  • Ľubovoľná konečná pologrupa s krátením je grupa.[1]
  • Komutatívna pologrupa sa dá vložiť do grupy práve vtedy, keď v nej platia zákony o krátení.[2] Konštrukcia grupy z komutatívnej pologrupy s krátením je podobná konštrukcii podielového poľa z oboru integrity. Pre nekomutatívne pologrupy je krátenie nutnou podmienkou pre vložiteľnosť do grupy, nie však postačujúcou.[3]

Referencie
  1. Grillet 2001, Proposition II.3.1, s. 36
  2. Grillet 2001, Proposition II.3.2, s. 36
  3. Clifford a Preston 1961, §1.10, s. 34

Literatúra
  • CLIFFORD, Alfred Hoblitzelle; PRESTON, Gordon Bamford. The Algebraic Theory of Semigroups. Vol I.. Providence, R.I. : American Mathematical Society, 1961. ISBN 978-0-8218-0272-4.
  • GRILLET, Pierre A.. Commutative Semigroups. Dordrecht : Springer Science+Business Media, 2001. Dostupné online. ISBN 978-0-7923-7067-3.
  • KATRIŇÁK, Tibor; GAVALEC, Martin; GEDEONOVÁ, Eva; SMÍTAL, Jaroslav. Algebra a teoretická aritmetika (1). Bratislava : Alfa, 1985.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.