Oreho veta

Nech G = (V,E) je neorientovaný graf s ${\displaystyle n\geq 3}$ vrcholmi taký, že pre stupne ľubovoľnej dvojice nesusedných vrcholov ${\displaystyle u,v\in V}$ platí

${\displaystyle {\textrm {deg}}(u)+{\textrm {deg}}(v)\geq n.}$

Potom G obsahuje hamiltonovskú kružnicu.

Sporom. Predpokladajme, že existuje graf G = (V,E) spĺňajúci podmienku zo znenia vety, ktorý hamiltonovskú kružnicu neobsahuje. Ďalej predpokladajme, že G je čo do počtu hrán maximálny graf o n vrcholoch s touto vlastnosťou, t. j. po pridaní ľubovoľnej hrany v grafe vznikne hamiltonovská kružnica.

Graf s ${\displaystyle n\geq 3}$ vrcholmi, ktorý neobsahuje hamiltonovskú kružnicu, zjavne nemôže byť kompletný, a preto v grafe G existuje dvojica nesusedných vrcholov ${\displaystyle x,y\in V}$. Zo skutočnosti, že G je maximálny nehamiltonovský graf vyplýva, že po pridaní hrany ${\displaystyle e=\{x,y\}}$ do E dostávame hamiltonovský graf. Každá hamiltonovská kružnica v tomto grafe musí nutne obsahovať hranu e, pretože inak by bol aj graf G hamiltonovský. Z toho vyplýva, že G obsahuje hamiltonovskú cestu

${\displaystyle (x=v_{1},e_{2},v_{2},\ldots ,v_{n}=y).}$

Položme

${\displaystyle A=\{v\in V\ |\ \{v,x\}\in E\}}$

a

${\displaystyle B=\{v_{i}\in V\ |\ \{v_{i-1},y\}\in E\}.}$

Keďže x a y sú nesusedné, z predpokladu vety vyplýva

${\displaystyle |A|+|B|\geq n.}$

Vrchol ${\displaystyle x=v_{1}}$ však zjavne nepatrí ani do A, ani do B, a preto

${\displaystyle |A\cup B|\leq n-1.}$

Z uvedených dvoch nerovností potom vyplýva

${\displaystyle |A\cap B|\geq 1,}$

čo znamená, že existuje vrchol ${\displaystyle v_{i}}$ patriaci súčasne do A aj do B. Potom však môžeme v grafe G skonštruovať hamiltonovskú kružnicu nasledujúcim spôsobom: z ${\displaystyle x=v_{1}}$ do ${\displaystyle v_{i-1}}$ po hamiltonovskej ceste grafu G. Zo skutočnosti ${\displaystyle v_{i}\in B}$ vyplýva, že ${\displaystyle v_{i-1}}$ susedí s ${\displaystyle y=v_{n}}$, prejdeme teda do ${\displaystyle y_{n}}$ a spätným postupom po hamiltonovskej ceste prídeme až do vrchola ${\displaystyle v_{i}}$, ktorý, keďže patrí do A, susedí s ${\displaystyle x=v_{1}}$. Prechodom do x tak je možné hamiltonovskú kružnicu uzatvoriť.

Existencia tejto kružnice je však v spore s predpokladom, že G nie je hamiltonovský. Tvrdenie je tak dokázané.

• Cameron, P.J.: Combinatorics: Topics, techniques, algorithms. Cambridge University Press, 1994.

• Znenie Oreho vety - Wolfram MathWorld (po anglicky).