Moment zotrvačnosti

Zjednodušene sa dá povedať, že moment zotrvačnosti vystupuje vo vzťahoch pre otáčavý pohyb tam, kde vo vzťahoch pre posuvný pohyb vystupuje hmotnosť. Takže popri kinetickej energii posuvného pohybu ${\displaystyle 1/2\,mv^{2}}$ je kinetická energia rotačného pohybu ${\displaystyle 1/2I\omega ^{2}}$ (${\displaystyle \omega }$ je uhlová rýchlosť otáčavého pohybu, ktorá nahradila rýchlosť posuvného pohybu ${\displaystyle v}$). Podobne popri hybnosti posuvného pohybu ${\displaystyle mv}$ sa stretávame s momentom hybnosti telesa konajúceho otáčavý pohyb, ktorý sa vypočíta vzťahom ${\displaystyle I\omega }$. V neposlednom rade namiesto Newtonovho zákona pre posuvný pohyb ${\displaystyle F=ma}$ máme pre otáčavý pohyb tzv. druhú vetu impulzovú, podľa ktorej ${\displaystyle M=I\varepsilon }$ (${\displaystyle M}$ je moment pôsobiacej sily, ${\displaystyle \varepsilon }$ je uhlové zrýchlenie telesa).

Úlohou momentu zotrvačnosti je za pomoci vzťahu ${\displaystyle 1/2\,I\omega ^{2}}$ vyjadrovať kinetickú energiu otáčavého pohybu telesa. Táto kinetická energia otáčavého pohybu však nie je nič iné než súčet kinetických energií všetkých malých kúskov, na ktoré si skúmané teleso môžeme v mysli rozdeliť. Každú z nich pritom môžeme vypočítať pomocou vzťahu ${\displaystyle 1/2\,m_{k}v_{k}^{2}}$, kde ${\displaystyle m_{k}}$ je hmotnosť daného malého kúska a ${\displaystyle v_{k}}$ je jeho rýchlosť (malosť kúska je tu potrebná na to, aby sme mohli považovať rýchlosť všetkých jeho častí za približne rovnakú - pri otáčavom pohybe sa totiž časti telesa rôzne vzdialené od osi otáčania pohybujú rôznymi rýchlosťami). Rýchlosť každého kúska závisí od jeho vzdialenosti od osi otáčania ${\displaystyle r_{k}}$ podľa vzťahu ${\displaystyle v_{k}=\omega r_{k}}$. Ak si teraz jednotlivé malé kúsky očíslujeme číslami od 1 do ${\displaystyle n}$, celkovú kinetickú energiu otáčajúceho sa telesa môžeme napísať ako

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m_{1}r_{1}^{2}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}r_{2}^{2}\omega ^{2}+\dots +{\frac {1}{2}}m_{n}r_{n}^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}{\Big (}m_{1}r_{1}^{2}+\dots +m_{n}r_{n}^{2}{\Big )}\omega ^{2}.}$

Takýmto jednoduchým sčítaním sme sa od vzťahov pre kinetickú energiu posuvného pohybu dostali k vzťahu pre otáčavý pohyb, kde namiesto rýchlosti ${\displaystyle v}$ vystupuje uhlová rýchlosť ${\displaystyle \omega }$. Porovnaním so vzťahom ${\displaystyle 1/2\,I\omega ^{2}}$ je jasné, že moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na danú os je vyjadrený súčtom v zátvorke, teda

${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+\dots +m_{n}r_{n}^{2}.}$

Problém tu spočíva v tom, že telesá majú spojito rozloženú hmotnosť. Preto nie je možné ich rozdeliť na malý počet "malých častí" (spomeňme si, prečo bola tá malosť častí taká dôležitá) a jednoducho sčítať podľa predchádzajúceho vzťahu. Je nutné použiť integrálny počet, pomocou ktorého dokážeme zapísať moment zotrvačnosti spojito rozdeleného telesa vzťahom

${\displaystyle I=\int r^{2}\,\mathrm {d} m,}$

pričom tu integrujeme cez celý objem telesa.

Jedno teleso však predsa len zvládneme aj z hlavy - je ním tenká obruč s polomerom ${\displaystyle r}$ a hmotnosťou ${\displaystyle m}$, ktorá sa otáča okolo osi kolmej na jej rovinu a prechádzajúcej stredom obruče. V tom prípade má totiž celá obruč rovnakú vzdialenosť od osi otáčania rovnú ${\displaystyle r}$, nepotrebujeme ju preto vôbec deliť a priamo môžeme napísať ${\displaystyle I=mr^{2}}$. Momenty zotrvačnosti niekoľkých ďalších telies sú v nasledujúcom zozname.

• guľa (os otáčania prechádzajúca stredom): ${\displaystyle I={\frac {2}{5}}mr^{2}}$
• valec (os otáčania totožná s osou valca): ${\displaystyle I={\frac {1}{2}}mr^{2}}$
• tenká tyč dĺžky ${\displaystyle L}$ (os otáčania kolmá na tyč prechádzajúca jej stredom): ${\displaystyle I={\frac {1}{12}}mL^{2}}$
• tenká tyč dĺžky ${\displaystyle L}$ (os otáčania kolmá na tyč prechádzajúca jej koncom): ${\displaystyle I={\frac {1}{3}}mL^{2}}$

Ak chceme vypočítať moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os neprechádzajúcu ťažiskom, pričom poznáme moment zotrvačnosti ${\displaystyle I_{0}}$ vzhľadom na s ňou rovnobežnú os, ktorá ťažiskom prechádza, môžeme si pomôcť Steinerovou vetou. Podľa nej ak je hmotnosť telesa ${\displaystyle m}$ a vzdialenosť dvoch spomínaných osí ${\displaystyle d}$, moment zotrvačnosti ${\displaystyle I}$ vzhľadom na tú, ktorá neprechádza ťažiskom sa dá vypočítať pomocou vzťahu:

${\displaystyle I=I_{0}+md_{}^{2}.}$

• Vzorce pre výpočet momentu zotrvačnosti