Lagrangeova veta (teória grúp)

Pre grupu G a jej podgrupu H platí: ${\displaystyle |G|=[G:H]\cdot |H|}$, kde |X| značí rád grupy X a [G:H] index grupy (počet ľavých cosetov H v G).

Najskôr ukážeme, že ľavé cosety ${\displaystyle gH=\{gh;\;h\in H\}}$ tvoria dohromady pre ${\displaystyle \forall g\in G}$ rozklad množiny G. Pretože ${\displaystyle x\cdot e=x\in xH}$, nepochybne ľavé cosety obsahujú všetky prvky G. Aby sme ukázali, že neobsahujú žiadny prvok dvakrát, predpokladajme naopak ${\displaystyle xH\cap yH\neq \emptyset }$ pre nejaké ${\displaystyle x,y\in G}$. Inými slovami pre nejaké ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ musí byť ${\displaystyle x\cdot h_{1}=y\cdot h_{2}}$. Vynásobením na pravej strane prvkom ${\displaystyle h_{2}^{-1}}$ dostaneme ${\displaystyle x\cdot h_{1}\cdot h_{2}^{-1}=y}$. Pre jednoduchosť vykonáme substitúciu ${\displaystyle t=h_{1}\cdot h_{2}^{-1}}$. Vzhľadom na definíciu podgrupy ${\displaystyle t\in H}$, a preto ${\displaystyle yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}}$. ${\displaystyle yH\subset xH}$, pretože tiež ${\displaystyle (th)\in H}$, a teda každý prvok v yH je obsiahnutý v xH. Symetrickým postupom by sme získali ${\displaystyle xH\subset yH}$, a preto ${\displaystyle yH=xH}$. Z čoho plynie, že cosety gH tvoria rozklad G. Aby sme ukázali, že rád všetkých cosetov je totožný, nájdeme bijektívne zobrazenie f z H na xH pre ${\displaystyle \forall x\in G}$. Definujme f predpisom ${\displaystyle f(h)=xh}$

• Dôkaz injektivity: Predpokladajme ${\displaystyle f(h_{1})=f(h_{2})}$. ${\displaystyle x\cdot h_{1}=x\cdot h_{2}}$. Obe strany vynásobíme zľava prvkom ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle x^{-1}\cdot x\cdot h_{1}=x^{-1}\cdot x\cdot h_{2}}$ ${\displaystyle x^{-1}\cdot x\cdot h_{1}=x^{-1}\cdot x\cdot h_{2}}$
• Surjektivita je zrejmá z definície.

${\displaystyle [G/H]}$ značí celkový počet všetkých (či už ľavých alebo pravých) cosetov. Ako už sme ukázali, Cosette tvorí rozklad množiny G a každý z nich má rovnaký rád |H|. Z týchto skutočností vyplýva ${\displaystyle |G|=[G/H]\cdot |H|}$.