Kombinácia (kombinatorika)

Kombinácie bez opakovania k-tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina množiny M. Z toho vyplýva, že množinu všetkých kombinácií k-tej triedy z množiny M definujeme ako podmnožinu potenčnej množiny množiny M (označujeme P(M)) takú, že obsahuje práve všetky k-prvkové množiny patriace do tejto potenčnej množiny. Takúto podmnožinu označujeme ${\displaystyle P_{k}(M)}$. Platí teda, že množina všetkých kombinácií bez opakovania k-tej triedy z množiny M je definovaná ako:

${\displaystyle {M \choose k}=P_{k}(M)}$

Aj keď uvedená definícia korektne definuje kombinácie bez opakovania ako kombinatorické štruktúry, nedáva ešte žiadnu informáciu o ich počte. Preto vzorec poskytujúci túto informáciu treba dokázať ako samostatnú vetu.

Ak definujeme symbol

${\displaystyle {n \choose k}={{\prod _{i=n-k+1}^{n}i} \over {k!}}={n! \over k!(n-k)!}}$,

(tento symbol nazývame kombinačné číslo, alebo, pre súvis s binomickou vetou aj binomický koeficient) tak potom pre počet všetkých kombinácií k-tej triedy z n prvkov množiny M platí:

${\displaystyle C_{k}(n)=\left|{M \choose k}\right|={|M| \choose k}={n \choose k}}$.

Táto veta sa dokazuje s pomocou vety o počte variácií bez opakovania k-tej triedy z n prvkov množiny M. Pri dôkaze sa využíva fakt, že počet kombinácií bez opakovania je rovnaký ako počet tried ekvivalencie na množine všetkých variácií, kde dve variácie sú spolu v jednej triede práve vtedy, keď je obraz obi dvoch (variácia je špeciálny druh zobrazenia) rovnaká množina a fakt, že počet variácií v jednej takejto triede ekvivalencie je k!.

V spoločnosti 5 osôb (a, b, c, d, e) každá osoba podá každej osobe ruku. Koľko bude podaní rúk?
Riešenie: ${\displaystyle C_{2}(5)={\frac {5!}{(5-2)!\cdot 2!}}=10}$

• dvojice, ktoré si podajú ruky: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de

Kombinácie s opakovaním k-tej triedy z n prvkov množiny M definujeme ako triedy ekvivalencie na množine všetkých variácií s opakovaním, kde dve variácie s opakovaním sú v relácii ekvivalencie práve vtedy, ak sa na každý prvok množiny M zobrazí v oboch variáciách rovnaký počet prvkov, t. j. ak pre variácie f, g platí:

${\displaystyle \forall x\in M:|f^{-1}(x)|=|g^{-1}(x)|}$.

Alternatívne definície využívajú napr. pojem multimnožiny.

Počet všetkých kombinácií s opakovaním k-tej triedy z n prvkov množiny M je:

${\displaystyle C_{k}^{\prime }(n)={{(n+k-1)} \choose k}}$

alebo

${\displaystyle C_{k}^{\prime }(n)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!}}}$

Koľko rôznych súčinov dvoch činiteľov možno utvoriť z čísel 2, 3, 5, 7, 11?
Riešenie: ${\displaystyle C_{2}^{\prime }(5)={\frac {(5+2-1)!}{(5-1)!\cdot 2!}}=15}$

• hľadané dvojice: 15