Relácia ekvivalencie

Ak ~ je relácia na množine X, tak ide o reláciu ekvivalencie, ak pre ľubovoľné prvky a, b, c množiny X platí:

• a ~ a. (reflexívnosť)
• Ak a ~ b, tak aj b ~ a. (symetrickosť)
• Ak a ~ b a b ~ c, tak a ~ c. (tranzitívnosť)

Relácie ekvivalencie sú v úzkom vzťahu s rozkladmi. Ak máme reláciu ~ na množine M, tak pre každý prvok ${\displaystyle a\in X}$ definujeme jeho triedu ako

${\displaystyle [a]=\{x\in X;a\sim x\}.}$

Inak povedané, [a] je množina všetkých prvkov, ktoré sú v relácii s prvkom a.

Pre ľubovoľné dve triedy [a] a [b] platí buď [a]=[b] alebo ${\displaystyle [a]\cap [b]=\emptyset }$, t.j. dve rôzne triedy sú navzájom disjunktné. Zjednotenie všetkých tried je celá množina X. Teda množina

${\displaystyle \{[a];a\in X\}}$

všetkých tried ekvivalencie tvorí rozklad množiny X.[1]

Takto dostaneme z ľubovoľnej relácie ekvivalencie rozklad. Obrátene, z každého rozkladu množiny X sa dá vyrobiť zodpovedajúca relácia ekvivalencie na X. Dva prvky budú v relácii práve vtedy, keď ležia v tej istej triede rozkladu.[2]

Máme teda jednojednoznačnú korešpondenciu medzi rozkladmi množiny X a reláciami ekvivalencie na X.

• KATRIŇÁK, Tibor; GAVALEC, Martin; GEDEONOVÁ, Eva; SMÍTAL, Jaroslav. Algebra a teoretická aritmetika (1). Bratislava : Alfa, 1985.