Kľukový mechanizmus

Rovnice pre výpočet polohy piestového čapu (piesta) v závislosti od pootočenia kľukového hriadeľa (merané od polohy v hornej úvrati, ako na obrázku)

${\displaystyle s=r+l-(l\cos \beta +r\cos \alpha )\,}$

${\displaystyle r\sin \alpha =l\sin \beta \,}$

• s – dráha piestneho čapu meraná od hornej úvrate
• r – polomer kľukového hriadeľa
• l – dĺžka ojnice
• α – uhol natočenia kľukového hriadeľa
• β – uhol kyvu ojnice

Táto rovnica nie je pre ďalšie výpočty vhodná, pretože obsahuje dve závislé premenné α a β. Je ju však možné upraviť [1] použitím nasledovných výrazov:

${\displaystyle \lambda =r/l\,}$

${\displaystyle \cos \beta ={\sqrt {1-\lambda ^{2}.\sin(\alpha )^{2}}}\,}$

kde

• λ – kľukový pomer, alebo štíhlosť ojnice.

Po úprave a rozvinutí do Eulerovho-MacLaurinovho radu platí:

${\displaystyle s=r+l-r\cos \alpha -l.(1-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}.\sin(\alpha )^{2}-{\frac {1}{8}}\lambda ^{4}.\sin(\alpha )^{4}-...)\,}$

Jednotlivé členy radu rýchlo konvergujú, preto pre bežné výpočty postačuje použiť prvé dva [1]. Rovnica po konečnej úprave:

${\displaystyle s\approx r.(1-\cos \alpha -{\frac {\lambda }{2}}\sin(\alpha )^{2})\,}$

Rovnice pre výpočet polohy piestneho čapu (piesta) v závislosti od pootočenia kľukového hriadeľa.

${\displaystyle s={\sqrt {(r+l)^{2}-e^{2}}}-l\cos(\beta )-r\cos(\alpha )\,}$

${\displaystyle r\sin \alpha =l\sin \beta +e\,}$

Rovnice platia len pri podmienke:

${\displaystyle e<l-r\,}$

Pre uhol natočenia kľukového hriadeľa pri ktorom je piest v hornej úvrati - α_H platí:

${\displaystyle \sin \alpha _{H}={\frac {e}{l+r}}\,}$

• s – dráha piestneho čapu
• r – polomer kľukového hriadeľa
• l – dĺžka ojnice
• e – excentricita mechanizmu
• α – uhol natočenia kľukového hriadeľa
• α_H – uhol natočenia kľukového hriadeľa, pri polohe piesta v hornej úvrati
• β – uhol kyvu ojnice

Pre výpočet rýchlosti piesta sa s výhodou využije derivácia približnej rovnice podľa času:

${\displaystyle v\approx r.\omega .(\sin \alpha +{\frac {\lambda }{2}}\sin(2\alpha ))\,}$

kde

• ω – uhlová rýchlosť otáčania kľukového hriadeľa

Priemerná hodnota tejto funkcie na intervale polovice otáčky kľukového hriadeľa (jedného zdvihu) sa nazýva stredná piestová rýchlosť a patrí medzi dôležité konštrukčné parametre piestových strojov.

Pre výpočet zrýchlenia sa pokračuje derivovaním predošlej rovnice podľa času:

${\displaystyle a\approx r.\omega ^{2}.(\cos \alpha +\lambda \cos(2\alpha ))\,}$

Pri analýze silového pôsobenia sa berú do úvahy sily a momenty (označenie indexov podľa [1]) podľa obrázkov. Prvý obrázok zobrazuje ideálny nehmotný kľukový mechanizmus, t.j. neuvažujú sa zotrvačné sily od posuvných a rotačných hmôt:

• F – výsledná sila na piest
• F_p – sila od tlaku plynov
• F_n – normálová sila
• F_o – ojničná sila
• F_t – tangenciálna sila
• F_r – radiálna sila
• M_k – krútiaci moment
• M_n – klopný moment

Na piest pôsobí sila od tlaku plynov F_p = F. Piest je spojený s ojnicou otočne, preto ojnica môže preniesť len silu pôsobiacu v jej osi. Sila F sa rozkladá na ojničnú silu F_o ktorá prenáša pôsobenie ďalej ku kľukovému hriadeľu a normálovú silu F_n, ktorá zvyšuje trenie piestových krúžkov o stenu valca. Navyše táto sila vytvára klopný moment M_n, ktorý sa musí zachytiť uložením motora.

Ojnica je tiež spojená s kľukovým hriadeľom otočne. Preto sa ojničná sila F_o rozkladá na dve na seba kolmé zložky. Tangenciálna sila F_t vytvára na ramene kľukového hriadeľa výsledný krútiaci moment M_k, radiálna sila F_r sa prenáša ramenom kľuky do hlavného ložiska.

Pre uvedené sily platia nasledovné vzťahy:

${\displaystyle F_{n}=F.\tan \beta \,}$   ;  ${\displaystyle F_{o}=F/\cos \beta \,}$

${\displaystyle F_{r}=F_{o}.\cos(\alpha +\beta )\,}$   ;  ${\displaystyle F_{r}=F_{o}.\sin(\alpha +\beta )\,}$

Pre uvedené momenty platí:

${\displaystyle M_{k}=F_{t}.r\ ,}$   ;  ${\displaystyle M_{k}=-M_{n}\,}$

Znázornenie síl a ich rozkladu v kľukovom mechanizme s pohybujúcimi sa hmotami

Druhý obrázok zobrazuje rovnaký kľukový mechanizmus s uvažovaním hmotnosti jeho častí a teda aj zotrvačných síl od posuvných a rotačných hmôt. Pribudnú sily:

• F_m – zotrvačná sila posuvných hmôt
• F_c – zotrvačná sila rotačných hmôt

Hmotnosti jednotlivých častí kľukového mechanizmu sú rozložené spojito a samotná ojnica koná zložitý kývavý pohyb. Preto sa pre zjednodušené výpočty uvažujú dva hmotné body. Jeden je umiestnený v osi piestneho čapu s hmotnosťou m_p rovnou súčtu hmotnosti piestovej skupiny m_ps a pomernej časti hmotnosti ojnice m_op. Druhý v osi kľukového čapu s hmotnosťou m_r rovnou súčtu hmotnosti zalomenia kľuky redukovanej na polomer otáčania m_zred a pomernej časti hmotnosti ojnice m_or.

Hmotnosť ojnice m_o sa rozkladá tak, aby bola zachovaná rovnaká hmotnosť a rovnováha momentov k ťažisku ojnice:

${\displaystyle m_{o}=m_{op}+m_{or}\,}$   ;  ${\displaystyle m_{op}.l_{1}=m_{or}.l_{2}\,}$   ;  ${\displaystyle l=l_{1}+l_{2}\,}$

t.j.

${\displaystyle m_{op}=m_{o}.{\frac {l-l_{1}}{l}}\ ,}$   ;  ${\displaystyle m_{or}=m_{o}.{\frac {l-l_{2}}{l}}\,}$

kde

• l₁ – vzdialenosť medzi ťažiskom ojnice a osou piestneho čapu
• l₂ – vzdialenosť medzi ťažiskom ojnice a osou ojničného čapu
• l – dĺžka ojnice (vzdialenosť osí čapov)

V praxi je pre piestové spaľovacie motory pomerná časť hmotnosti ojnice započítaná k posuvným hmotám m_op v rozmedzí 20 – 30 % hmotnosti ojnice[1]. Rozloženie hmotnosti do dvoch bodov nezachováva rovnováhu momentov zotrvačnosti. Pre presnejšie výpočty sa hmotnosť ojnice rozloží do troch bodov, pričom tretí je v ťažisku ojnice [2]. Hmotnosti sa určia tak, aby okrem predošlých dvoch bola splnená aj rovnica [1]:

${\displaystyle m_{op}.l_{1}^{2}+m_{or}.l_{2}^{2}=I_{o}\,}$

kde

• I_o – moment zotrvačnosti ojnice

Redukovaná hmotnosť zalomenia kľuky sa určí z hmotnosti m₁ tých častí ramien kľuky, ktoré nie sú symetricky rozložené okolo osí hlavného, alebo kľukového čapu a polohy ich ťažiska ρ'od stredu otáčania kľuky.

${\displaystyle m_{zred}=m_{1}.{\frac {\rho }{r}}\ ,}$

Následne platí:

${\displaystyle F_{m}=-m_{p}.a\ ,}$   ;  ${\displaystyle m_{p}=m_{ps}+m_{op}\,}$

${\displaystyle F_{c}=m_{r}.r.\omega ^{2}\ ,}$   ;  ${\displaystyle m_{r}=m_{zred}+m_{or}\,}$