Adiabatický dej

Preň ideálny plyn sa dá sa dá odvodiť Poissonov zákon:

• ${\displaystyle pV^{\kappa }={\mbox{const.}}}$
• ${\displaystyle TV^{\kappa -1}={\mbox{const.}}}$
• ${\displaystyle Tp^{\frac {1-\kappa }{\kappa }}={\mbox{const.}}}$

Exponent ${\displaystyle \kappa }$ sa nazýva Poissonova konštanta a nadobúda hodnoty:

• pre jednoatómový reálny plyn ${\displaystyle \kappa \approx 1,67}$
• pre dvojatómové plyny ${\displaystyle \kappa \approx 1,40}$
• pre trojatómové plyny ${\displaystyle \kappa \approx 1,33}$

Pri zmene tlaku v plyne (napríklad pri stlačení piestu), bez výmeny tepla so stenami nádoby a iných dejov (vyparovanie/kondenzácia, horenie a pod.), príde ku adiabatickej zmene teploty, ktorú môžme odvodiť z Poissonovho zákona.[3] [4]

${\displaystyle T_{1}=T_{0}.\left({\frac {p_{0}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1-\kappa }{\kappa }}}$

kde:

• T₀ a p₀ sú východzie podmienky
• T₁ je teplota pri tlaku p₁

Závislosť tlaku na objeme plynu pri priebehu adiabatického deja graficky vyjadruje krivka adiabata:

Môžu pri ňom nastať dva deje:

• 1. Adiabatická kompresia
• 2. Adiabatická expanzia

Pretože pri adiabatickom deji nedochádza k výmene tepla s okolím, bude ${\displaystyle \delta Q=0}$. Podľa prvého termodynamického zákona potom platí vzťah

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta W}$

To sa dá interpretovať tak, že pri adiabatickom stláčaní (${\displaystyle \mathrm {d} V<0}$) plyn prácu prijme a dôjde tak ku rastu vnútornej energie (${\displaystyle \mathrm {d} U>0}$), čím sa plyn ohreje. Pri rozpínaní (${\displaystyle \mathrm {d} V>0}$) plyn naopak koná prácu na úkor vnútornej energie (${\displaystyle \mathrm {d} U<0}$), čím sa ochladzuje. Celková zmena vnútornej energie je teda rovná vykonanej práci ${\displaystyle W}$.[1]

Podľa stavovej rovnice ideálneho plynu (ak ${\displaystyle p\mathrm {d} V+V\mathrm {d} p=nR\mathrm {d} T}$) je možné napísať

${\displaystyle \mathrm {d} Q=nC_{V}\mathrm {d} T+p\mathrm {d} V={\frac {C_{V}}{R}}(p\mathrm {d} V+V\mathrm {d} p)+p\mathrm {d} V=0}$

Využitím Mayerovej rovnice a po vydelení ${\displaystyle pV}$ dostaneme

${\displaystyle C_{V}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}+C_{p}{\frac {\mathrm {d} V}{V}}=0}$

S využitím Poissonovej konštanty je možné predchádzajúce zapísať ako

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}+\kappa {\frac {\mathrm {d} V}{V}}=0}$

odkiaľ po integrácii dostaneme

${\displaystyle \ln {p}+\ln {V^{\kappa }}={\mbox{konst}}}$

a po odlogaritmovaní

${\displaystyle pV^{\kappa }={\mbox{konst}}}$

Pri adiabatickom deji sa práca koná na úkor vnútornej energie. Pre celkovú prácu teda bude platiť

${\displaystyle W=-\int \mathrm {d} U=-\int nC_{V}\mathrm {d} T=nC_{V}(T_{1}-T_{2})}$

Z Mayerovej rovnice s pomocou Poissonovej konštanty je možné prácu vyjadriť v tvare

${\displaystyle W=n{\frac {R}{\kappa -1}}(T_{1}-T_{2})}$

Z tejto rovnice je možné s pomocou stavovej rovnice vylúčiť teplotu, tzn. ${\displaystyle T={\frac {pV}{nR}}}$, čím dostaneme

${\displaystyle W={\frac {p_{1}V_{1}-p_{2}V_{2}}{\kappa -1}}}$

Ako už bolo povedané pri adiabatickom deji plyn koná prácu W na úkor svojej vnútornej energie ΔU, alebo opačne, práca W vykonaná na plyne spôsobí zvýšenie vnútornej energie ΔU plynu.

Z 1. termodynamického zákona vyplýva ΔU = W. Pre prácu vykonanú plynom medzi bodmi 1 a 2 platí:

${\displaystyle W={\frac {1}{\kappa -1}}.(p_{1}.V_{1}-p_{2}.V_{2})}$

• κ - Poissonova konštanta
• p₁ - tlak plynu v stave 1
• V₁ - objem plynu v stave 1
• p₂ - tlak plynu v stave 2
• V₂ - objem plynu v stave 2

Aby plyn nemohol vymeniť žiadne teplo s okolím, mal by adiabatický dej prebiehať v dokonale izolovanom prostredí, alebo nekonečne rýchlo.[1]

Pre entropiu pri adiabatickom deji platí

${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} Q}{T}}=0}$