Herónov vzorec

Ak sú ${\displaystyle a,b,c}$ dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah ${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$, kde ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ je polovičný obvod trojuholníka.

Označme ${\displaystyle x}$ vzdialenosť vrcholu ${\displaystyle B}$ od päty kolmice z vrcholu ${\displaystyle A}$ na stranu ${\displaystyle a}$ (výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:

${\displaystyle \ x^{2}+v^{2}=c^{2}}$

${\displaystyle \ (a-x)^{2}+v^{2}=b^{2}}$

Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:

${\displaystyle \ a^{2}-2ax=b^{2}-c^{2}}$

Z tohto vzťahu vyjadríme ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}}$

Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto ${\displaystyle -}$ dáva ${\displaystyle +}$ (viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme ${\displaystyle x}$, získame výšku ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle \ v^{2}=c^{2}-x^{2}}$

${\displaystyle v^{2}=c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}}$

${\displaystyle v^{2}=c^{2}-{\frac {\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}}$

${\displaystyle v^{2}={\frac {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}}$

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2a}}}$

Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka ${\displaystyle S={\frac {av}{2}},}$, dostaneme:

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{4}}}$

Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {\left(2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)\left(2ac-a^{2}-c^{2}+b^{2}\right)}}{4}}}$

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {\left[\left(a+c\right)^{2}-b^{2}\right]\left[b^{2}-\left(a-c\right)^{2}\right]}}{4}}}$

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\left(b-a+c\right)}}{4}}}$

Dosadíme polovičný obvod ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \ a+b+c=2s}$ a dostávame výsledný vzorec:

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {2s\left(2s-2a\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2c\right)}}{4}}}$

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {16s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}{4}}}$

${\displaystyle S={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}$

Vzorec bol formulovaný Herónom z Alexandrie a dôkaz bol publikovaný v jeho knihe Métrika, napísanej v roku 60 pred Kr.[1]

• Kratší dôkaz je možný pomocou kosínusovej vety.
• Obsah trojuholníka je symetrická kvadraticky homogénna funkcia jeho strán.

• Trojuholník
• Obsah
• Tetivový štvoruholník

• Dôkaz Herónoveho vzorca
• Herónov vzorec

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Heronův vzorec na českej Wikipédii.