Eulerovský ťah

V teórii grafov sa termínom eulerovský ťah označuje taký ťah, ktorý obsahuje každú hranu grafu práve jeden krát. Zaviedol ho Leonhard Euler, keď sa v roku 1736 pokúšal vyriešiť slávny problém siedmych mostov cez Pregoľu v Kráľovci (nem. Königsberg, dnešný Kaliningrad) vo Východnom Prusku.

Sedem mostov mesta Kaliningrad zobrazených ako graf

Ak existuje v grafe uzavrený eulerovský ťah, nazývame tento graf taktiež eulerovský.[1] Eulerovské grafy je možné nakresliť „jedným ťahom“. Eulerovské grafy majú každý vrchol párneho stupňa.[2]

Definícia

Eulerovský ťah v neorientovanom grafe je taký ťah v ktorom použijeme každú hranu práve raz. Ak takýto ťah existuje graf voláme „prejazdný“ alebo semi-eulerovský.[3]

Ak je $G=(V,E)$ neorientovaný graf a $P=(v_{0},e_{1},v_{1},\ldots ,e_{n},v_{m})$ postupnosť, pre ktorú platí, že $\left|E\right|=n{\mbox{ a }}\forall i,j=1,\ldots ,n\;,i\neq j\;:e_{i}\neq e_{j}\;$ , nazývame túto postupnosť eulerovským ťahom. Ak je $v_{0}=v_{m}$ , nazývame tento ťah uzavretým.

Vlastnosti

neorientovaný graf je eulerovský, ak je súvislý a každý jeho vrchol má párny stupeň,
neorientovaný graf je eulerovský, ak je súvislý a ak má práve 2 vrcholy nepárneho stupňa (eulerov ťah bude potom otvorený),
neorientovaný graf je eulerovský, ak je súvislý a ide ho rozložiť na hranovo disjunktné cykly.

Referencie

Základní pojmy z teorie grafů.
C. L. Mallows, N. J. A. Sloane. Two-graphs, switching classes and Euler graphs are equal in number. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1975, s. 876–880. DOI: 10.1137/0128070.
Jun-ichi Yamaguchi, Introduction of Graph Theory.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Základní pojmy z teorie grafů.

[2] C. L. Mallows, N. J. A. Sloane. Two-graphs, switching classes and Euler graphs are equal in number. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1975, s. 876–880. DOI: 10.1137/0128070.

[3] Jun-ichi Yamaguchi, Introduction of Graph Theory.