Brachistochrona

Úlohou je nájsť tvar spojnice dvoch bodov A a B, po ktorej by sa teleso pohybujúce sa vplyvom gravitačnej sily, dostalo z A do B v najkratšom čase. Predpokladá sa pohyb v homogénnom gravitačnom poli a odporové sily sa zanedbávajú. Pokiaľ by oba body ležali „pod sebou“ (na rovnakej zvislici), tak je zrejme úloha triviálna, hľadanou krivkou je úsečka.

Schéma k úlohe o brachistochrone.

Úlohu je možné matematicky formulovať tak, že hľadáme takú hladku rovinnú krivku spojujúcu body ${\displaystyle A[0,y_{A}],B[x_{B},0]}$ (bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme ${\displaystyle y_{A}\geq 0}$ a ${\displaystyle x_{B}>0}$), po ktorej sa hmotný bod o hmotnosti ${\displaystyle m}$ pohybuje v tiažovom poli od bodu A do bodu B za najkratšiu dobu. Voľba súradnicového systému je zobrazená na obrázku, tiažová sila má obvyklý smer zápornej polosi y, vďaka symetrii pohyb nastáva v zvislej rovine obsahujúcej oba body.

Podľa zákona zachovania energie platí

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=mg(y_{A}-y)}$.

Úpravou tohoto vzťahu dostaneme výraz pre rýchlosť (ktorá zrejme nezávisí na hmotnosti),

${\displaystyle v^{2}=2g(y_{A}-y)}$.

Pokiaľ predpokladáme rovnicu brachistochrony

${\displaystyle y=y(x)}$,

rýchlosť je možne vyjadriť taktiež ako

${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\sqrt {({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}})^{2}+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}})^{2}}}={\sqrt {({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}})^{2}+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}})^{2}}}={\sqrt {1+{y^{\prime }}^{2}}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$,

kde bol použitý vzťah pre dráhu ${\displaystyle s}$ pohybu a fakt, že riešime len tú časť pohybu, kedy súradnica x rastie s časom.

Predpokladáme, že platí ${\displaystyle y<y_{A}}$ pre ${\displaystyle (0,x_{B})}$, vynechávame teda počiatočný bod a prípadnú hornú úvrať, pokiaľ by koncový bod ležal rovnako vysoko ako počiatočný. Pokiaľ teda predpokladáme ${\displaystyle y<y_{A}}$, dostaneme z predchádzajúcich výrazov vzťah

${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} s}{v}}={\sqrt {\frac {1+{y^{\prime }}^{2}}{2g(y_{A}-y)}}}\mathrm {d} x}$

Celkovú dobu potrebnú k prebehnutiu pozdĺž krivky z bodu A do B je možné zapísať ako

${\displaystyle T=\int _{0}^{x_{B}}{\sqrt {\frac {1+{y^{\prime }}^{2}}{2g(y_{A}-y)}}}\mathrm {d} x}$

Fyzikálny problém sa teda redukuje na riešenie variačného problému minimalizácie funkcionálu s Lagrangeovou funkciou ${\displaystyle F(y,y^{\prime })={\sqrt {\frac {1+{y^{\prime }}^{2}}{2g(y_{A}-y)}}}}$, nezávislou (explicitne) na x.

V tomto prípade existuje podľa Beltramiho identity pre príslušnú Eulerovo-Lagrangeovu diferenciálnu rovnicu extremály y prvý integrál v tvare

${\displaystyle F-y^{\prime }{\frac {\partial F}{\partial y^{\prime }}}=C}$.

Dosadením získame

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1+{y^{\prime }}^{2}}{2g(y_{A}-y)}}}-y^{\prime }{\frac {y^{\prime }}{\sqrt {2g(y_{A}-y)}}}{\frac {1}{\sqrt {1+{y^{\prime }}^{2}}}}=C}$,

kde ${\displaystyle C}$ je konštanta.

Úpravou posledného vzťahu dostaneme

${\displaystyle 1=C{\sqrt {2g(y_{A}-y)}}{\sqrt {1+{y^{\prime }}^{2}}}}$

a umocnením

${\displaystyle 1=2C^{2}g(y_{A}-y)(1+{y^{\prime }}^{2})}$

Pretože ${\displaystyle C\neq 0}$, je možné označiť ${\displaystyle K={\frac {1}{2gC^{2}}}}$, čím získame

${\displaystyle {\frac {K}{1+{y^{\prime }}^{2}}}=y_{A}-y}$.

Túto nelineárnu diferenciálnu rovnicu 1. rádu je možné výhodne riešiť substitúciou ${\displaystyle y^{\prime }=\operatorname {tg} {\frac {\varphi }{2}}}$,

riešením dostaneme parametrické vyjadrenie hľadanej krivky v tvare

${\displaystyle x={\frac {K}{2}}(\varphi +\sin {\varphi })+L}$,

${\displaystyle y=y_{A}-{\frac {K}{2}}(1-\cos {\varphi })}$,

kde ${\displaystyle K,L}$ sú integračné konštanty, ktorá sa určí z podmienky, že hľadaná krivka prechádza bodmi A a B.

Ide o časť prostej cykloidy, s úvraťou v bode A.

Pretože ide o minimalizáciu doby pohybu, je možné úlohu o brachistochrone vyriešiť taktiež pomocou Fermatovho princípu z optiky, podľa ktorého je doba šírenia svetla extrémna. Celkovú dobu šírenia je možné vyjadriť

${\displaystyle T=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\rm {{d}t=\int _{A}^{B}{\frac {\rm {{d}s}}{v}}={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n{\rm {{d}s,}}}}}$

kde n je index lomu prostredia a c rýchlosť svetla vo vákuu.

Dráha minimalizujúca čas (extremála funkcionálu) je daná riešením rovnice, ktorá v nehomogénnom prostredí, kde rýchlosť svetla závisí len na jednej súradnici, má tvar (zákona lomu)

${\displaystyle n(y)\cdot \sin \alpha =konst,}$

kde ${\displaystyle \alpha }$ je odchýlka lúča od osi y. Po dosadení rýchlosti namiesto indexu lomu a za sínus (vlastne je to kosínus odchýlky od osi x, vyjadrený pomocou tangens – smernica dotyčnice dráhy), dostávame (značenie je rovnaké ako pri pôvodnom odvodení)

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2g(y_{A}-y)}}}{\frac {1}{\sqrt {1+{y^{\prime }}^{2}}}}=konst,}$

čo je rovnaká (diferenciálna) rovnica prostej cykloidy ako vyššie.

Vidíme, že brachistochrona je formálne geodetika plochy, kde vzdialenosť je daná koeficientmi prvej základnej formy

${\displaystyle E(x,y)=1,F=0,G={\frac {1}{\sqrt {y}}}.}$

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydanie. ISBN 80-7196-179-5
• Brdička M., Hladík A. : Teoretická mechanika. Academia, Praha, 1987.
• BRDIČKA, Miroslav. Brachystochrona či brachistochrona?. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 1972, roč. 17, čís. 4, s. 204. Dostupné online. ISSN 0032-2423.

• Diferenciálny a integrálny počet
• Cykloida
• Homogénne gravitačné pole
• Johann Bernoulli
• Funkcionál

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Brachistochrona na českej Wikipédii.