Archimedova axióma

Na dokázanie Archimedovej vlastnosti musíme najprv dokázať nasledujúcu vetu:

Nech ${\displaystyle 0<r<1}$. Potom postupnosť ${\displaystyle \{r^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ je sumovateľná a platí: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }r^{i}={\frac {1}{1-r}}}$ .

Dôkaz je nasledovný:

V (Z) položme ${\displaystyle a_{n}=r^{n}}$ pre každé celé ${\displaystyle n>0}$, z čoho vyplýva, že postupnosť ${\displaystyle \{r^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ je sumovateľná. Označme jej súčet s. Potom platí ${\displaystyle s=\sum _{i=0}^{\infty }r^{i}=r^{0}+\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }r^{i-1}}$.

Urobme teraz substitúciu ${\displaystyle i-1=j}$, pričom ${\displaystyle p=0}$, ${\displaystyle r=-1}$. Keďže platí

${\displaystyle s=\sum _{i=0}^{\infty }r^{i}=r^{0}+\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }r^{i-1}}$ takže dostaneme ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r^{i-1}=\sum _{j=0}^{\infty }r^{j}=s}$. Teda ${\displaystyle s=1+rs}$, z čoho ihneď vyplýva

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }r^{i}={\frac {1}{1-r}}}$.

Keď sa teraz vrátime k dôkazu archimedovej postupnosti, tak podľa predchádzajúcej vety je číslo ${\displaystyle s={\frac {1}{1-r}}}$ súčtom postupnosti ${\displaystyle \{r^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$. Preto k ľubovolnému číslo ${\displaystyle o<s}$ existuje také celé číslo ${\displaystyle m\leq 0}$, že

${\displaystyle o<\sum _{j=0}^{m}r^{j}}$. Ak označíme ${\displaystyle o={\frac {1}{1-r}}-{\frac {k}{1-r}}}$, tak zrejme ${\displaystyle o<s}$. Teda k takto zvolenému ${\displaystyle o}$ existuje celé číslo ${\displaystyle m\leq 0}$, pre ktoré platí ${\displaystyle o={\frac {1}{1-r}}-{\frac {k}{1-r}}}$. To znamená, že existuje také celé ${\displaystyle m\leq 0}$, že ${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}-{\frac {k}{1-r}}<\sum _{j=0}^{m}r^{j}}$.

Na druhej strane platí rovnosť ${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}r^{j}={\frac {1-r^{m+1}}{1-r}}}$. Teda z toho vypláva ${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}-{\frac {k}{1-r}}<\sum _{j=0}^{m}r^{j}={\frac {1-r^{m+1}}{1-r}}}$. Z toho už dostávame, že ${\displaystyle r^{m+1}<k}$. Ak teda zvolíme ${\displaystyle n=m+1}$, máme hľadané prirodzené číslo s vlastnosťou ${\displaystyle r^{n}<k}$.

• Ku každému ${\displaystyle k>0}$ existuje také prirodzené číslo ${\displaystyle m}$, že ${\displaystyle {\frac {1}{m}}<k}$. Nasleduje dôkaz: Podľa Archimedovej vlastnosti ku každému ${\displaystyle k>0}$ existuje celé číslo ${\displaystyle n>1}$ s vlastnosťou ${\displaystyle ({\frac {1}{2}})^{k}}$. Nech ${\displaystyle m=2^{n}}$ . Potom ${\displaystyle m}$ je také prirodzené číslo, že ${\displaystyle {\frac {1}{m}}<k}$
• Ku každému číslu ${\displaystyle v}$ také prirodzené číslo ${\displaystyle m}$, že ${\displaystyle v<m}$. Nasleduje dôkaz: Ak teraz ${\displaystyle v\leq 0}$, tak ${\displaystyle v<m}$ pre ľubovolné ${\displaystyle m=1,2,...}$ Ak ${\displaystyle 0<v}$, tak ${\displaystyle v<m}$ pre každé také číslo ${\displaystyle m}$, pre ktoré ${\displaystyle {\frac {1}{m}}<{\frac {1}{v}}}$. Také prirodzené číslo ${\displaystyle m}$ však určite existuje podľa dokázanej časti tejto vety.