Kvadratický odhad

${\displaystyle 1)}$ Nájdite najväčšie také číslo ${\displaystyle k}$, aby nerovnosť

${\displaystyle k\leq 5-{\frac {3}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}}$ platila pre všetky ${\displaystyle x>0}$.

Riešenie: Pravda, nie je vopred jasné, čí také číslo vôbec existuje. Nech ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ pre ${\displaystyle x>0}$. Nájdeme najväčšie možné číslo ${\displaystyle k}$ také, že ${\displaystyle k\leq 5-3y+y^{2}}$, pre každé ${\displaystyle y}$. To je ľahké, podľa vyššie uvedeného dostávame:

${\displaystyle 5-3y+y^{2}=(y^{2}-3y+{\frac {9}{4}})+5-{\frac {9}{3}}=(y-{\frac {3}{2}})^{2}+{\frac {11}{4}}}$ pre kazdé ${\displaystyle y}$. Preto ${\displaystyle {\frac {11}{4}}\leq 5-3y+y^{2}}$ a rovnosť nastane vtedy a len vtedy, keď ${\displaystyle y={\frac {3}{2}}}$. Platí teda ${\displaystyle {\frac {11}{4}}\leq 5-{\frac {3}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}}$ pre každé ${\displaystyle x>0}$. Navyše pre ${\displaystyle x={\frac {2}{3}}}$ nastáva rovnosť. Preto najväčšie také číslo ${\displaystyle k}$, že pre každé ${\displaystyle x>0}$ platí ${\displaystyle k\leq 5-{\frac {3}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}}$, je ${\displaystyle {\frac {11}{4}}}$.

${\displaystyle 2)}$ Nájdite najmenšie také číslo ${\displaystyle v}$, že pre každé ${\displaystyle x\neq -5}$ platí ${\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v}$.

• Tento problém vlastne zahŕňa nasledujúce otázky:
• a) existuje číslo ${\displaystyle v}$ také, že ${\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v}$ platí pre každé ${\displaystyle x\neq -5}$?
• b) Ak áno, je niektoré z takých čísel najmenšie?
• c) Ktoré je najmenšie také číslo, ak existuje?

Na všetky tieto otázky odpovieme naraz. Keďže ${\displaystyle (5+x)^{2}>0}$ pre ${\displaystyle x\neq -5}$, nerovnosť ${\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v}$ platí pre niektoré ${\displaystyle x\neq -5}$ práve vtedy, keď ${\displaystyle x\leq (5+x)^{2}}$, čiže ${\displaystyle 0<vx^{2}+(10v-1)x+25v=v[(x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}+25-(x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}]}$ za predpokladu, že ${\displaystyle v\neq 0}$. Ak však ${\displaystyle v}$ je také číslo, že ${\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v}$ platí pre každé ${\displaystyle x\neq -5}$, tak ${\displaystyle v>0}$, lebo výraz na ľavej strane vzťahu ${\displaystyle 0<vx^{2}+(10v-1)x+25v=v[(x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}+25-(x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}]}$ je pre každé ${\displaystyle x>0}$ kladný. Keďže ${\displaystyle v>0}$, tak predchádzajúca nerovnosť platí pre každé ${\displaystyle x}$ vtedy a len vtedy keď ${\displaystyle 25-({\frac {10v-1}{2v}})^{2}\leq 0}$ pretože ${\displaystyle (x+{\frac {10v-1}{2v}})^{2}\leq 0}$ pre každé ${\displaystyle x}$, pričom rovnosť nastáva pre ${\displaystyle x={\frac {10v-1}{2v}}}$. Nerovnosť ${\displaystyle 25-({\frac {10v-1}{2v}})^{2}\leq 0}$ platí práve vtedy, keď ${\displaystyle 20v-1\leq 0}$, číže ${\displaystyle v\leq {\frac {1}{20}}}$. Teda ak ${\displaystyle v\leq {\frac {1}{20}}}$, tak ${\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v}$ platí pre všetky ${\displaystyle x\neq -5}$. Navyše keď vezmeme ${\displaystyle v={\frac {1}{20}}}$ a z ${\displaystyle x={\frac {10v-1}{2v}}}$ vypočítané ${\displaystyle x=5\neq -5}$, tak v ${\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v}$ dostaneme rovnosť. Teda najmenšie z čísel ${\displaystyle v}$, ktoré spĺňajú ${\displaystyle {\frac {x}{(5+x)^{2}}}\leq v}$ pre každé ${\displaystyle x\neq -5}$ je ${\displaystyle {\frac {1}{20}}}$.

${\displaystyle 3)}$ Ukážme, že existujú také čísla ${\displaystyle u}$, že nerovnosť ${\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}}$ platí pre každé ${\displaystyle x}$, a že jedno z nich je najväčšie.

Riešenie: Všimnime si najprv, že

• ${\displaystyle x^{2}+x+4=(x-{\frac {1}{2}})^{2}+{\frac {15}{4}}>0}$ pre každé číslo ${\displaystyle x}$. Preto ${\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}}$ platí vtedy a len vtedy, keď ${\displaystyle ux^{2}+(u-1)x+4u\leq 0}$. Keď však ${\displaystyle u\neq 0}$, vtedy ${\displaystyle ux^{2}+(u-1)x+4u=u((x+{\frac {u-1}{2u}})^{2}+4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}}$ pre všetky ${\displaystyle x}$. Navyše pravá strana výrazu ${\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}}$ je pre záporné ${\displaystyle x}$ záporná. Z toho vyplýva, že tento výraz môže platiť pre každé ${\displaystyle x}$ len vtedy, keď ${\displaystyle u<0}$. Teda uvedený výraz platí pre všetky ${\displaystyle x}$ vtedy a len vtedy, keď ${\displaystyle u<0}$ a zároveň ${\displaystyle (x+{\frac {u-1}{2u}})^{2}+4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0}$. Keďže ${\displaystyle (x+({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0}$, pre každé ${\displaystyle x}$, pričom rovnosť platí pre ${\displaystyle x={\frac {1-u}{2u}}}$, bude nerovnosť ${\displaystyle (x+{\frac {u-1}{2u}})^{2}+4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0}$ platiť pre všetky ${\displaystyle x}$ vtedy a len vtedy, keď ${\displaystyle 4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0}$. Teda ${\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}}$ platí pre každé číslo ${\displaystyle x}$ vtedy a len vtedy, keď ${\displaystyle u<0}$ a nerovnosť ${\displaystyle 4-({\frac {u-1}{2u}})^{2}\geq 0}$ je splnená. Nerovnosť platí práve vtedy, keď ${\displaystyle -2\leq {\frac {u-1}{2u}}\leq 2}$.
• Keďže vyššie uvedený zlomok je pre ${\displaystyle u<0}$ kladný, číslo ${\displaystyle u<0}$ vyhovuje nerovnostiam ${\displaystyle -2\leq {\frac {u-1}{2u}}\leq 2}$ práve vtedy, keď ${\displaystyle {\frac {u-1}{2u}}\leq 2}$, čiže práve vtedy, keď ${\displaystyle u-1\geq 4u}$, čiže ${\displaystyle u\leq -{\frac {1}{3}}}$. Takto sme zistili, že nerovnosť ${\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}}$ platí pre každé číslo ${\displaystyle x}$ vtedy a len vtedy, keď ${\displaystyle u=-{\frac {1}{3}}}$. Teda ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}}$ je najväčšie zo všetkých takých čísel ${\displaystyle u}$, že nerovnosť ${\displaystyle u\leq {\frac {x}{x^{2}+x+4}}}$ platí pre každé číslo ${\displaystyle x}$.

• Doplnenie na štvorec

• I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 64-67