Impulsová věta

Uvažujme soustavu hmotných bodů, pro jejichž výslednici sil platí podle 2. Newtonova zákona vztah

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {d\mathbf {p} _{n}}{dt}}=\sum _{n}\mathbf {F} =\sum _{n}\mathbf {F} _{n}^{i}+\sum _{n}\mathbf {F} _{n}^{e}=\sum _{n}\sum _{k\neq n}\mathbf {F} _{nk}^{i}+\sum _{n}\mathbf {F} _{n}^{e}}$.

Interní síla ${\displaystyle \mathbf {F} _{n}^{i}}$ je součtem jednotlivých silových působení zbývajících hmotných bodů soustavy, přičemž uvažujeme, že žádný bod sám na sebe nepůsobí nenulovou silou ${\displaystyle \mathbf {F} _{nn}^{i}=0}$. Předchozí vztah přepíšeme na tvar

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{n}\mathbf {p} _{n}=\sum _{n}\sum _{k\neq n}\mathbf {F} _{nk}^{i}+\mathbf {F} ^{e}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {F} ^{e}}$ je výsledná externí síla působící na soustavu. Podle zákona akce a reakce platí ${\displaystyle \mathbf {F} _{nk}^{i}=-\mathbf {F} _{kn}^{i}}$, z čehož vyplývá první věta impulzová ve tvaru

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{n}\mathbf {p} _{n}={\frac {d}{dt}}\mathbf {p} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {F} ^{e}}$.

Uvažujme soustavu hmotných bodů, jejíž výslednice externích sil je nulová. Takovou soustavu nazýváme izolovanou a z první věty impulsové vyplývá zákon o zachování hybnosti soustavy ve tvaru

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=0\implies \mathbf {p} ={\text{konst.}}}$.

Vynásobíme všechny pohybové rovnice použité v odvození první věty impulsové, čímž dostaneme

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {r} _{n}\times {\frac {d\mathbf {p} _{n}}{dt}}=\sum _{n}\sum _{k\neq n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{nk}^{i}+\sum _{n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{n}^{e}}$.

Pro derivaci vektorového součinu platí

${\displaystyle \mathbf {r} _{n}\times {\frac {d\mathbf {p} _{n}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {p} _{n})}{dt}}={\frac {d\mathbf {L} _{n}}{dt}}={\frac {d\mathbf {r} _{n}}{dt}}\times \mathbf {p} _{n}+\mathbf {r} _{n}\times {\frac {d\mathbf {p} _{n}}{dt}}=\mathbf {r} _{n}\times {\frac {d\mathbf {p} _{n}}{dt}}}$.

Dosadíme do předchozí rovnice a upravíme

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{n}\mathbf {L} _{n}=\sum _{n}\sum _{k\neq n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{nk}^{i}+\mathbf {M} ^{e}}$.

První člen na pravé straně vyjádříme ve tvaru

${\displaystyle \sum _{n}\sum _{k\neq n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{nk}^{i}={\frac {1}{2}}\sum _{n}\sum _{k\neq n}\left(\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{nk}^{i}+\mathbf {r} _{k}\times \mathbf {F} _{kn}^{i}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n}\sum _{k\neq n}\left(\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{nk}^{i}-\mathbf {r} _{k}\times \mathbf {F} _{nk}^{i}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n}\sum _{k\neq n}(\mathbf {r} _{n}-\mathbf {r} _{k})\times \mathbf {F} _{nk}^{i}=0}$.

Z čehož po dosazení dostáváme druhou větu impulsovou ve tvaru

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{n}\mathbf {L} _{n}={\frac {d}{dt}}\mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {M} ^{e}}$.

Uvažujme soustavu hmotných bodů, jejíž výslednice externích momentů sil je nulová (izolovaná soustava), pak z druhé věty impulsové vyplývá zákon o zachování momentu hybnosti soustavy ve tvaru

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0\implies \mathbf {L} ={\text{konst.}}}$